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Ch3 向量空間

定義

定義

V≠∅V\ne\emptyset, FF 為 field。若在 VV 上定義二元運算:

  • 向量加法 +:V×V→V+:V\times V\to V
  • 純量積 ⋅:F×V→V\cdot:F\times V\to V

且滿足以下公設:

封閉性
  • ∀u⃗,v⃗∈V\forall \vec{u},\vec{v}\in V, u⃗+v⃗∈V\vec{u}+\vec{v}\in V
  • ∀c∈F\forall c\in F, ∀v⃗∈V\forall \vec{v}\in V, cv⃗∈Vc\vec{v}\in V
交換、結合律
  • ∀u⃗,v⃗∈V\forall \vec{u},\vec{v}\in V, u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}
  • ∀u⃗,v⃗,w⃗∈V\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V, (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})
零元素、反元素
  • ∃0⃗∈V\exists \vec{0}\in V 使得 ∀v⃗∈V\forall \vec{v}\in V, v⃗+0⃗=v⃗\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}
  • ∀v⃗∈V\forall \vec{v}\in V, ∃−v⃗∈V\exists -\vec{v}\in V 使得 v⃗+(−v⃗)=0⃗\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}
分配律
  • ∀c∈F\forall c\in F, ∀u⃗,v⃗∈V\forall \vec{u},\vec{v}\in V, c(u⃗+v⃗)=cu⃗+cv⃗c(\vec{u}+\vec{v})=c\vec{u}+c\vec{v}
  • ∀c,d∈F\forall c,d\in F, ∀v⃗∈V\forall \vec{v}\in V, (c+d)v⃗=cv⃗+dv⃗(c+d)\vec{v}=c\vec{v}+d\vec{v}
結合律-純量積
  • ∀c,d∈F\forall c,d\in F, ∀v⃗∈V\forall \vec{v}\in V, c(dv⃗)=(cd)v⃗c(d\vec{v})=(cd)\vec{v}
單位元素
  • ∀v⃗∈V\forall \vec{v}\in V, 1v⃗=v⃗1\vec{v}=\vec{v}

則稱 VV 為一個 vector space over FF。

常見的向量空間

歐氏空間 (Euclidean space)

V=Fn={(x1,x2,⋯ ,xn)∣x1,x2,⋯ ,xn∈F}V=F^n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)\mid x_1,x_2,\cdots,x_n\in F\}。

其向量加法與純量積定義為:

  • (x1,x2,⋯ ,xn)+(y1,y2,⋯ ,yn)=(x1+y1,x2+y2,⋯ ,xn+yn)(x_1,x_2,\cdots,x_n)+(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots,x_n+y_n)
  • c(x1,x2,⋯ ,xn)=(cx1,cx2,⋯ ,cxn)c(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(cx_1,cx_2,\cdots,cx_n)

矩陣空間

V=Fm×n={A∣A 為 m×n matrix over F}V=F^{m\times n}=\{A\mid A\text{ 為 }m\times n\text{ matrix over }F\}。

其向量加法為矩陣加法，純量積為矩陣純量積。

多項式空間

V=P={p∣p 為係數在 F 中的 polynomial}V=P=\{p\mid p\text{ 為係數在 }F\text{ 中的 polynomial}\}。

例如:

  • p(x)=2+3x+4x2p(x)=2+3x+4x^2, deg⁡(p)=2\deg(p)=2
  • q(x)=5−6x+3x2+4x3q(x)=5-6x+3x^2+4x^3, deg⁡(q)=3\deg(q)=3

其向量加法與純量積定義為:

  • (p+q)(x)=p(x)+q(x)(p+q)(x)=p(x)+q(x)
  • (cp)(x)=c p(x)(cp)(x)=c\,p(x)

n 次多項式空間

V=Pn={p∈P∣deg⁡(p)≤n}V=P_n=\{p\in P\mid \deg(p)\le n\}。

也就是所有次數不超過 nn 的多項式所成的向量空間。

函數空間

V=F(D,F)={f∣f:D→F 為 function}V=\mathcal{F}(D,F)=\{f\mid f:D\to F\text{ 為 function}\}。

其向量加法與純量積定義為:

  • (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x)
  • (cf)(x)=c f(x)(cf)(x)=c\,f(x)

連續函數空間

V=C[a,b]={f∣f:[a,b]→F 為 continuous function}V=C[a,b]=\{f\mid f:[a,b]\to F\text{ 為 continuous function}\}。

C[a,b]C[a,b] 是函數空間 F([a,b],F)\mathcal{F}([a,b],F) 的一個常見子空間。

子空間

定義

已知 (V,+,⋅)(V,+,\cdot) 為 vector space。若:

  1. W⊆VW\subseteq V
  2. (W,+,⋅)(W,+,\cdot) 本身也是 vector space

則稱 WW 為 VV 的 subspace，記作 W⊆sVW\overset{s}{\subseteq}V。

定理

已知 VV 為 vector space，W⊆VW\subseteq V，且 W≠∅W\ne\emptyset。則以下條件等價:

  1. W⊆sVW\overset{s}{\subseteq}V
  2. WW 對向量加法與純量積封閉:
    • ∀u⃗,v⃗∈W\forall \vec{u},\vec{v}\in W, u⃗+v⃗∈W\vec{u}+\vec{v}\in W
    • ∀c∈F\forall c\in F, ∀v⃗∈W\forall \vec{v}\in W, cv⃗∈Wc\vec{v}\in W
  3. ∀c,d∈F\forall c,d\in F, ∀u⃗,v⃗∈W\forall \vec{u},\vec{v}\in W, cu⃗+dv⃗∈Wc\vec{u}+d\vec{v}\in W
  4. ∀c∈F\forall c\in F, ∀u⃗,v⃗∈W\forall \vec{u},\vec{v}\in W, cu⃗+v⃗∈Wc\vec{u}+\vec{v}\in W
Note

判斷 WW 是否為 VV 的子空間時，不必重新檢查 vector space 的 10 條公設。因為 VV 已經滿足這些公設，只需要確認:

  • W⊆VW\subseteq V
  • W≠∅W\ne\emptyset
  • WW 對向量加法與純量積封閉

子空間的必要條件:

若 W⊆sVW\overset{s}{\subseteq}V，則:

  1. 0⃗∈W\vec{0}\in W
  2. ∀u⃗,v⃗∈W\forall \vec{u},\vec{v}\in W, u⃗−v⃗∈W\vec{u}-\vec{v}\in W
  3. ∀v⃗∈W\forall \vec{v}\in W, −v⃗∈W-\vec{v}\in W

其中 0⃗∈W\vec{0}\in W 很重要:

  • 若 0⃗∉W\vec{0}\notin W，則 WW 不是子空間。
  • 若 0⃗∈W\vec{0}\in W，仍不能直接判定 WW 是子空間，還需要檢查封閉性。
Note

R2\mathbb{R}^2 的 subspace 有三種類型:

  1. {(0,0)}={0⃗}\{(0,0)\}=\{\vec{0}\}: zero space
  2. R2\mathbb{R}^2: 整個空間本身
  3. 通過原點的一條直線
定理

若 W1,W2⊆sVW_1,W_2\overset{s}{\subseteq}V，則 W1∩W2⊆sVW_1\cap W_2\overset{s}{\subseteq}V

Note

若 W1,W2⊆sVW_1,W_2\overset{s}{\subseteq}V，通常 W1∪W2W_1\cup W_2 不一定是 VV 的子空間。

反例: 令 V=R2V=\mathbb{R}^2，

W1={(x,0)∣x∈R}W_1=\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}，W2={(0,y)∣y∈R}W_2=\{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}。

則 W1⊆sVW_1\overset{s}{\subseteq}V 且 W2⊆sVW_2\overset{s}{\subseteq}V，但是:

  • (1,0)∈W1⊆W1∪W2(1,0)\in W_1\subseteq W_1\cup W_2
  • (0,1)∈W2⊆W1∪W2(0,1)\in W_2\subseteq W_1\cup W_2
  • (1,0)+(0,1)=(1,1)∉W1∪W2(1,0)+(0,1)=(1,1)\notin W_1\cup W_2

所以 W1∪W2W_1\cup W_2 對向量加法不封閉，故 W1∪W2W_1\cup W_2 不是子空間。

定理

若 W1,W2⊆sVW_1,W_2\overset{s}{\subseteq}V，則:

W1∪W2⊆sV  ⟺  W1⊆W2 or W2⊆W1W_1\cup W_2\overset{s}{\subseteq}V\iff W_1\subseteq W_2~\text{or}~W_2\subseteq W_1

和空間

定義

若 W1,W2⊆sVW_1,W_2\overset{s}{\subseteq}V，定義:

W1+W2={w⃗1+w⃗2∣w⃗1∈W1,w⃗2∈W2}W_1+W_2=\{\vec{w}_1+\vec{w}_2\mid \vec{w}_1\in W_1,\vec{w}_2\in W_2\}。

稱 W1+W2W_1+W_2 為 W1W_1 與 W2W_2 的 sum space。

定理

若 W1,W2⊆sVW_1,W_2\overset{s}{\subseteq}V，則 W1+W2⊆sVW_1+W_2\overset{s}{\subseteq}V

四大空間

定義

令 AA 為 m×nm\times n matrix，定義四個基本子空間:

  1. ker⁡(A)={x⃗∈Fn×1∣Ax⃗=0⃗}\ker(A)=\{\vec{x}\in F^{n\times 1}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}，稱為 AA 的 kernel/null space
  2. Lker⁡(A)={x⃗∈F1×m∣x⃗A=0⃗}\operatorname{Lker}(A)=\{\vec{x}\in F^{1\times m}\mid \vec{x}A=\vec{0}\}，稱為 AA 的 left kernel
  3. CS⁡(A)={Ax⃗∣x⃗∈Fn×1}\operatorname{CS}(A)=\{A\vec{x}\mid \vec{x}\in F^{n\times 1}\}，稱為 AA 的 column space
  4. RS⁡(A)={x⃗A∣x⃗∈F1×m}\operatorname{RS}(A)=\{\vec{x}A\mid \vec{x}\in F^{1\times m}\}，稱為 AA 的 row space
定理

若 A∈Fm×nA\in F^{m\times n}，則:

  1. ker⁡(A)⊆sFn×1\ker(A)\overset{s}{\subseteq}F^{n\times 1}
  2. Lker⁡(A)⊆sF1×m\operatorname{Lker}(A)\overset{s}{\subseteq}F^{1\times m}
  3. CS⁡(A)⊆sFm×1\operatorname{CS}(A)\overset{s}{\subseteq}F^{m\times 1}
  4. RS⁡(A)⊆sF1×n\operatorname{RS}(A)\overset{s}{\subseteq}F^{1\times n}
Note

矩陣乘積對四大空間的影響:

  • ker⁡(B)⊆ker⁡(AB)\ker(B)\subseteq\ker(AB)。若 AA 為 nonsingular，則 ker⁡(B)=ker⁡(AB)\ker(B)=\ker(AB)。
  • Lker⁡(A)⊆Lker⁡(AB)\operatorname{Lker}(A)\subseteq\operatorname{Lker}(AB)。
  • CS⁡(AB)⊆CS⁡(A)\operatorname{CS}(AB)\subseteq\operatorname{CS}(A)。若 BB 為可逆，則 CS⁡(AB)=CS⁡(A)\operatorname{CS}(AB)=\operatorname{CS}(A)。
  • RS⁡(AB)⊆RS⁡(B)\operatorname{RS}(AB)\subseteq\operatorname{RS}(B)。

列運算與行運算對四大空間的影響:

  • 若 A∼rBA\overset{r}{\sim}B，則 ker⁡(A)=ker⁡(B)\ker(A)=\ker(B) 且 RS⁡(A)=RS⁡(B)\operatorname{RS}(A)=\operatorname{RS}(B)。
  • 若 A∼cBA\overset{c}{\sim}B，則 Lker⁡(A)=Lker⁡(B)\operatorname{Lker}(A)=\operatorname{Lker}(B) 且 CS⁡(A)=CS⁡(B)\operatorname{CS}(A)=\operatorname{CS}(B)。

生成與線性獨立

定義

設 S≠∅S\ne\emptyset 且 S⊆VS\subseteq V。若

  • SS 中任意有限個向量為 v⃗1,v⃗2,…,v⃗k\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_k
  • FF 中任意有限個純量為 a1,a2,…,aka_1,a_2,\dots,a_k

則 v⃗=a1v⃗1+a2v⃗2+⋯+akv⃗k\vec{v}=a_1\vec{v}_1+a_2\vec{v}_2+\cdots+a_k\vec{v}_k 稱為 SS 的一個 linear combination。

定義

設 S⊆VS\subseteq V，定義 span⁡(S)\operatorname{span}(S) 是 SS 中所有 linear combination 所成的集合，稱為 SS 之 span。

定理

若 A∼rBA\overset{r}{\sim}B，則 AA 與 BB 之行向量的線性組合關係式不變。

Note
  1. span⁡(S)⊆sV\operatorname{span}(S)\overset{s}{\subseteq}V
  2. span⁡(S)\operatorname{span}(S) 為包含 SS 的最小子空間。
  3. S⊆sV  ⟺  span⁡(S)=SS\overset{s}{\subseteq}V\iff \operatorname{span}(S)=S
  4. 定義 span⁡(∅)={0⃗}\operatorname{span}(\emptyset)=\{\vec{0}\}，且 {0⃗}≠∅\{\vec{0}\}\ne\emptyset。
  5. 若 S1⊆S2S_1\subseteq S_2，則 span⁡(S1)⊆span⁡(S2)\operatorname{span}(S_1)\subseteq\operatorname{span}(S_2)。
  6. span⁡({0⃗})={0⃗}\operatorname{span}(\{\vec{0}\})=\{\vec{0}\}。
定理

若 W1=span⁡(S1)W_1=\operatorname{span}(S_1)，W2=span⁡(S2)W_2=\operatorname{span}(S_2)，則 W1+W2=span⁡(S1∪S2)W_1+W_2=\operatorname{span}(S_1\cup S_2)

推廣: 若 Wi=span⁡(Si)W_i=\operatorname{span}(S_i)，i=1,…,ki=1,\dots,k，則 W1+W2+⋯+Wk=span⁡(S1∪S2∪⋯∪Sk)W_1+W_2+\cdots+W_k=\operatorname{span}(S_1\cup S_2\cup\cdots\cup S_k)

獨立 & 相依

定義

設 S≠∅S\ne\emptyset 且 S⊆VS\subseteq V。

  • linearly dependent (LD): 存在 v⃗1,v⃗2,…,v⃗k∈S\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_k\in S，以及不全為 00 的純量 c1,c2,…,ck∈Fc_1,c_2,\dots,c_k\in F，使得 c1v⃗1+c2v⃗2+⋯+ckv⃗k=0⃗c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\cdots+c_k\vec{v}_k=\vec{0}。

  • linearly independent (LI): 對任意 v⃗1,v⃗2,…,v⃗k∈S\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_k\in S，若 c1v⃗1+c2v⃗2+⋯+ckv⃗k=0⃗c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\cdots+c_k\vec{v}_k=\vec{0} 則 c1=c2=⋯=ck=0c_1=c_2=\cdots=c_k=0。

Note
  • 若 S1⊆S2S_1\subseteq S_2，且 S2S_2 為 LI，則 S1S_1 為 LI。
  • 若 S1⊆S2S_1\subseteq S_2，且 S1S_1 為 LD，則 S2S_2 為 LD。
  • 若 0⃗∈S\vec{0}\in S，則 SS 為 LD。
  • 若 v⃗≠0⃗\vec{v}\ne\vec{0}，則 {v⃗}\{\vec{v}\} 為 LI。
  • ∅\emptyset 為 LI。

特別地:

  • {0⃗}\{\vec{0}\} 為 LD。
  • {v⃗}\{\vec{v}\} 為 LI，若 v⃗≠0⃗\vec{v}\ne\vec{0}。
定義

設 f1,f2,…,fn∈Cn−1[a,b]f_1,f_2,\dots,f_n\in C^{n-1}[a,b] (n−1n-1 次可微)，定義

W(x)= \begin{vmatrix} f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\\ f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)} \end{vmatrix}

稱其為 f1,f2,…,fnf_1,f_2,\dots,f_n 之 Wronskian。

定理

若 W(x)W(x) 不是 zero function，則 f1,f2,…,fnf_1,f_2,\dots,f_n 為 LI。

  • 存在 x0∈[a,b]x_0\in[a,b] 使得 W(x0)≠0W(x_0)\ne0
Note

若 W(x)=0W(x)=0，不一定可推出 f1,f2,…,fnf_1,f_2,\dots,f_n 為 LD。

反例: 在 [−1,1][-1,1] 上令 f1(x)=x2f_1(x)=x^2, f2(x)=x∣x∣f_2(x)=x|x|，則 W(x)=0W(x)=0 但 f1,f2f_1,f_2 為 LI。

基底與維度

定義

設 S⊆VS\subseteq V。若 SS 滿足:

  • SS 生成 VV，也就是 span⁡(S)=V\operatorname{span}(S)=V
  • SS 為 LI

則稱 SS 為 VV 的一組 basis。

Note
  • 基底未必唯一。
  • 但 VV 之每一組 basis 中向量的個數必唯一，稱為 VV 的 dimension，記作 dim⁡(V)\dim(V)。
定理

若 β={v⃗1,…,v⃗n}\beta=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\} 為 VV 的一組 basis，則對任意 v⃗∈V\vec{v}\in V，v⃗\vec{v} 可唯一寫成 β\beta 中向量的 LC。

定理

生成裁減: 已知 SS 生成 VV，若 SS 不獨立，則存在 u⃗∈S\vec{u}\in S，使得 S−{u⃗}S-\{\vec{u}\} 仍生成 VV。

定理

獨立擴增: 已知 SS 為 LI，若 SS 不生成 VV，則存在 u⃗∉S\vec{u}\notin S，使得 S∪{u⃗}S\cup\{\vec{u}\} 仍為 LI。

  • 取 u⃗∉span⁡(S)\vec{u}\notin\operatorname{span}(S)
Note

判斷基底的良好工具:

  • 若 SS 生成 VV，且 S′S' 為 LI，則 ∣S′∣≤∣S∣|S'|\le |S|。
  • 基底可視為最小生成集且最大獨立集。
  • 若 dim⁡(V)=n\dim(V)=n，則:
    • SS 生成 VV ⇒∣S∣≥n\Rightarrow |S|\ge n
    • SS 為 LI ⇒∣S∣≤n\Rightarrow |S|\le n
    • ∣S∣<n|S|<n ⇒S\Rightarrow S 不生成 VV
    • ∣S∣>n|S|>n ⇒S\Rightarrow S 為 LD
  • 若 dim⁡(V)=n=∣S∣\dim(V)=n=|S|，則:
    • SS 生成 VV ⇒S\Rightarrow S 為 VV 的一組 basis
    • SS 為 LI ⇒S\Rightarrow S 為 VV 的一組 basis
Note

令 A:m×nA:m\times n，且 A=[a⃗1,…,a⃗n]=[A1⋮Am]A=[\vec{a}_1,\dots,\vec{a}_n]=\begin{bmatrix}A_1\\\vdots\\A_m\end{bmatrix}。

  • CS(A)=span⁡{a⃗1,…,a⃗n}CS(A)=\operatorname{span}\{\vec{a}_1,\dots,\vec{a}_n\}
  • RS(A)=span⁡{A1,…,Am}RS(A)=\operatorname{span}\{A_1,\dots,A_m\}
Note

令 A:n×nA:n\times n。以下條件彼此等價:

  • AA 可逆。
  • Ax⃗=0⃗⇒x⃗=0⃗A\vec{x}=\vec{0} \Rightarrow \vec{x}=\vec{0}。
  • ker⁡(A)={0⃗}\operatorname{ker}(A)=\{\vec{0}\}，也就是 dim⁡(ker⁡(A))=0\dim(\operatorname{ker}(A))=0。
  • AA 的行向量 a⃗1,…,a⃗n\vec{a}_1,\dots,\vec{a}_n 為 LI。
  • AA 的行向量形成 Fn×1F^{n\times 1} 的一組 basis。
  • AA 的行向量生成 Fn×1F^{n\times 1}，也就是 CS(A)=Fn×1CS(A)=F^{n\times 1}。
  • dim⁡(CS(A))=n\dim(CS(A))=n。

同理，從非主流角度看也有以下等價條件:

  • x⃗A=0⃗⇒x⃗=0⃗\vec{x}A=\vec{0} \Rightarrow \vec{x}=\vec{0}。
  • Lker⁡(A)={0⃗}\operatorname{Lker}(A)=\{\vec{0}\}，也就是 dim⁡(Lker⁡(A))=0\dim(\operatorname{Lker}(A))=0。
  • AA 的列向量為 LI。
  • AA 的列向量形成 F1×nF^{1\times n} 的一組 basis。
  • AA 的列向量生成 F1×nF^{1\times n}，也就是 RS(A)=F1×nRS(A)=F^{1\times n}。
  • dim⁡(RS(A))=n\dim(RS(A))=n。
定理

若 W⊆sVW\overset{s}{\subseteq}V，則 W=V  ⟺  dim⁡(W)=dim⁡(V)W=V\iff \dim(W)=\dim(V)

定理

若 W1,W2⊆sVW_1,W_2\overset{s}{\subseteq}V，則 dim⁡(W1+W2)=dim⁡(W1)+dim⁡(W2)−dim⁡(W1∩W2)\dim(W_1+W_2)=\dim(W_1)+\dim(W_2)-\dim(W_1\cap W_2)

直和

定義

設 W1,W2⊆sVW_1,W_2\overset{s}{\subseteq}V。若滿足:

  • V=W1+W2V=W_1+W_2
  • W1∩W2={0⃗}W_1\cap W_2=\{\vec{0}\}

則稱 W1,W2W_1,W_2 形成 VV 之一 direct sum，記作 V=W1⊕W2V=W_1\oplus W_2

範例

令 V=Rn×nV=\mathbb{R}^{n\times n}，並定義 W1={A∈V∣AT=A},W2={A∈V∣AT=−A}W_1=\{A\in V\mid A^T=A\},W_2=\{A\in V\mid A^T=-A\}，證明 V=W1⊕W2V=W_1\oplus W_2。

Step1

證明 V=W1+W2V=W_1+W_2: 對任意 A∈VA\in V，令:

B=A+AT2,C=A−AT2B=\frac{A+A^T}{2},\qquad C=\frac{A-A^T}{2}

則:

A=B+C=A+AT2+A−AT2A=B+C=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}

且:

BT=(A+AT2)T=AT+A2=BB^T=\left(\frac{A+A^T}{2}\right)^T=\frac{A^T+A}{2}=B

CT=(A−AT2)T=AT−A2=−CC^T=\left(\frac{A-A^T}{2}\right)^T=\frac{A^T-A}{2}=-C

所以 B∈W1B\in W_1，C∈W2C\in W_2，故 V=W1+W2V=W_1+W_2。

Step2

證明 W1∩W2={0}W_1\cap W_2=\{0\}

若 A∈W1∩W2A\in W_1\cap W_2，則 AT=AA^T=A 且 AT=−AA^T=-A，因此 A=−AA=-A，得到 2A=02A=0，所以 A=0A=0。

因此 W1∩W2={0}W_1\cap W_2=\{0\}，故: V=W1⊕W2V=W_1\oplus W_2

定義

設 W1,…,Wk⊆sVW_1,\dots,W_k\overset{s}{\subseteq}V。若滿足:

  • V=W1+⋯+WkV=W_1+\cdots+W_k
  • Wi∩∑j≠iWj={0⃗}W_i\cap \sum_{j\ne i}W_j=\{\vec{0}\}，對所有 i=1,…,ki=1,\dots,k

則稱 W1,…,WkW_1,\dots,W_k 形成 VV 之一 direct sum，記作 V=W1⊕⋯⊕WkV=W_1\oplus\cdots\oplus W_k

定理

W1,…,WkW_1,\dots,W_k 為 independent subspace   ⟺  dim⁡(W1+⋯+Wk)=dim⁡(W1)+⋯+dim⁡(Wk)\iff \dim(W_1+\cdots+W_k)=\dim(W_1)+\cdots+\dim(W_k)

Note

若 V=W1⊕⋯⊕WkV=W_1\oplus\cdots\oplus W_k，且 βi\beta_i 為 WiW_i 的一組 basis，則 β=β1∪⋯∪βk\beta=\beta_1\cup\cdots\cup\beta_k 為 VV 的一組 basis。

  • 一般的 W1+⋯+WkW_1+\cdots+W_k 只保證生成，不一定 LI；只有在 direct sum 時，基底聯集才會形成整個空間的基底。