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Inequalities & Point Estimation Normal Approximation to Binomial Distribution 若 Y∼Binomial(n,p)Y\sim Binomial(n,p)Y∼Binomial(n,p) 則: E(Y)=npE(Y)=npE(Y)=np Var(Y)=np(1−p)Var(Y)=np(1-p)Var(Y)=np(1−p) SD(Y)=np(1−p)SD(Y)=\sqrt{np(1-p)}SD(Y)=np(1−p)​ Normal approximation: Y≈N(np,np(1−p))Y\approx N(np,np(1-p))Y≈N(np,np(1−p)) 標準化: Z=Y−npnp(1−p)Z=\frac{Y-np}{\sqrt{np(1-p)}}Z=np(1−p)​Y−np​ P(Y>a)≈P(Z>a−npnp(1−p))P(Y>a)\approx P\left(Z>\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)P(Y>a)≈P(Z>n ...

L5 Coloring of Graph 符號定義 符號 意義 χ(G)\chi(G)χ(G) 著色數 (chromatic number) χ′(G)\chi'(G)χ′(G) 邊著色數 (chromatic index) ω(G)\omega(G)ω(G) 團數 (clique number) α(G)\alpha(G)α(G) 最大獨立集大小 G∨HG\vee HG∨H Join of graphs HHH-subdivision 對 HHH 的邊反覆細分後所得圖 Vertex Coloring 點著色 圖 GGG 的 kkk-著色是一個映射 f:V(G)→Sf:V(G)\to Sf:V(G)→S, 其中 ∣S∣=k|S|=k∣S∣=k。 若對任意 uv∈E(G)uv\in E(G)uv∈E(G) 都有 f(u)≠f(v)f(u)\ne f(v)f(u)​=f(v)，則稱為 proper kkk-coloring。 若 GGG 存在 proper kkk-coloring ，則稱 GGG 為 kkk-colorable。 所有同 ...

From Probability to Statistics Random Sample 若: X1,…,XnX_1,\ldots,X_nX1​,…,Xn​ 形成 random sample，講義假設它們為 iid，且: E(Xi)=μE(X_i)=\muE(Xi​)=μ Var(Xi)=σ2Var(X_i)=\sigma^2Var(Xi​)=σ2 iid: identically distributed: 每個 Xi 都有相同 distribution independently distributed: Xi 與 Xj 彼此 independent, i ≠ j Statistical Inference Probability: parameters 已知，求 probability Statistics: parameters 未知，用 sample 推論 parameters Sample Mean Sample mean: Xˉ=X1+⋯+Xnn\bar X=\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}Xˉ=nX1​+⋯+Xn​​ Xˉ\bar XXˉ 本 ...

L4 連通度與路徑 符號定義 符號 意義 δ(G)\delta(G)δ(G) 最小度 (minimum degree) NG(v)N_G(v)NG​(v) vvv 的鄰居集合 (neighborhood) κ(G)\kappa(G)κ(G) 圖 GGG 的頂點連通度 (connectivity) λ(G)\lambda(G)λ(G) 圖 GGG 的邊連通度 (edge-connectivity) κ(x,y)\kappa(x,y)κ(x,y) 分開 x,yx,yx,y 所需移除的最少頂點數 λ(x,y)\lambda(x,y)λ(x,y) 講義此處用來表示 x,yx,yx,y 間最大兩兩頂點不相交路徑數 [X,Y][X,Y][X,Y] X,YX,YX,Y 兩頂點集合之間的邊集合 Vertex Cut 與 Connectivity Vertex Cut (點割) 對連通圖 GGG，若頂點集合 S⊆V(G)S\subseteq V(G)S⊆V(G) 滿足 G−SG-SG−S 有超過一個 connected component，則稱 SSS ...

Continuous Random Variables Probability Density Function (PDF) 對 continuous random variable XXX，probability density function 記為 f(x)f(x)f(x)。 區間機率由 density curve 下方的面積計算: P(a≤X≤b)=∫abf(x) dxP(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dxP(a≤X≤b)=∫ab​f(x)dx ∫−∞∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1∫−∞∞​f(x)dx=1 Cumulative Distribution Function (CDF) 對 continuous random variable: F(x)=∫−∞xf(u) duF(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)\,duF(x)=∫−∞x​f(u)du PDF 與 CDF 的關係: f(x)=dF(x)dxf(x)=\frac{dF(x)}{dx}f(x)=dxdF(x)​ 單點機 ...

Poisson Process 與 Poisson Distribution Poisson Process 描述在時間或空間區間內隨機發生的事件數量，例如電話到達、事故、缺陷數等。 主要假設: 在很短的區間 hhh 內，發生一次事件的機率約為 λh\lambda hλh (與長度成正比)。 當 hhh 很小時，同一區間發生兩次以上事件的機率可忽略。 互不重疊區間的事件發生次數彼此獨立。 在所考慮的範圍內，平均發生率 λ\lambdaλ 大致固定 (Homogeneous，均勻性)。 Poisson Random Variable X∼Poisson⁡(μ),μ=λtX\sim\operatorname{Poisson}(\mu),\quad \mu=\lambda tX∼Poisson(μ),μ=λt λ\lambdaλ: 每單位時間／空間的平均發生次數。 ttt:觀察長度；μ=λt\mu=\lambda tμ=λt: 整段觀察範圍的平均事件數。 XXX: 該範圍內實際發生次數，因此只能是非負整數。 PMF: P(X=x)=e−μμxx!{P(X=x)=\frac{e^ ...

Random Variable Definition Random variable 是將 sample space 中的 outcome 映射到 real line 的函數。 X:S→RX:S\rightarrow\mathbb{R}X:S→R 也就是把隨機實驗的結果轉成一個可以分析的數值。 Types of Random Variables Discrete Random Variable: possible values 可以一一列舉 Continuous Random Variable: possible values 為連續數值 Discrete Random Variables Probability Mass Function (PMF): p(x)=P(X=x)p(x)=P(X=x)p(x)=P(X=x) ∑xP(X=x)=1\sum_x P(X=x)=1∑x​P(X=x)=1 Cumulative Distribution Function (CDF): F(x)=P(X≤x)F(x)=P(X\le x)F(x)=P(X≤x) F(x)=∑a≤xP ...

Two-way Tables and Conditional Probabilities Independence 的應用: Sensitive Questions 可以透過隨機化設計，讓受訪者不必直接回答敏感問題。 基本想法: P(Yes)=P(choose A and Yes)+P(choose B and Yes)P(\text{Yes})=P(\text{choose A and Yes})+P(\text{choose B and Yes})P(Yes)=P(choose A and Yes)+P(choose B and Yes) 若「選到哪題」與敏感行為 independent，則: P(choose B and Yes)=P(choose B)P(Yes to B)P(\text{choose B and Yes})=P(\text{choose B})P(\text{Yes to B})P(choose B and Yes)=P(choose B)P(Yes to B) 因此可由整體 Yes 比例反推出敏感行為比例。 Genetics 基本名詞 名詞 意義 ...

Exploratory Data Analysis Coefficient of Variation (CV) 變異係數 CV=SXˉ×100%CV=\frac{S}{\bar X}\times 100\%CV=XˉS​×100% SSS: standard deviation Xˉ\bar XXˉ: mean Unitless (無單位) 適合比較不同單位或不同數值尺度的資料 CV 越大，表示相對變異程度越大 資料進行線性轉換: X∗=a+bXX^*=a+bXX∗=a+bX 得到 CV∗=bSa+bXˉCV^*=\frac{bS}{a+b\bar X}CV∗=a+bXˉbS​ 若 a≠0a\neq0a​=0: CV∗≠CVCV^*\neq CVCV∗​=CV Categorical Data 圖表 Side-by-side Bar Plot: 比較兩個 categorical variables Pie Chart: 各類別占整體的比例 Bar Chart: 可依特定順序排列、方便比較各 category 的大小 Numerical Data 圖表 Hist ...

圖表描述 Shape Symmetric Left-skewed Right-skewed 尾巴的方向 Stem-leaf Plot Back-to-back stem-leaf plot 描述: Symmetry / skewness Peak Center Variation Gap Outliers Descriptive Measures Robustness Measure Robust? Mean No Median Yes Five-number Summary MinMinMin: 最小值 Q1Q_1Q1​: 第一四分位數, PR25 前半部資料的 median (如果 nnn 為奇數則包含中位數) MedianMedianMedian: 中位數, PR50 nnn 為奇數: M=X(n+12)M=X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}M=X(2n+1​)​ nnn 為偶數: X(n/2)+X(n/2+1)2\frac{X_{(n/2)}+X_{(n/2+1)}}{2}2X(n/2)​+X(n/ ...