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考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 L5 遞迴關係 L5-2 常係數線性遞迴 定義 若數列 (an)(a_n)(an​) 滿足 c0an+c1an−1+⋯+ckan−k=f(n)c_0a_n+c_1a_{n-1}+\cdots+c_ka_{n-k}=f(n)c0​an​+c1​an−1​+⋯+ck​an−k​=f(n) 其中 c0,c1,…,ckc_0,c_1,\ldots,c_kc0​,c1​,…,ck​ 為常數，且 c0≠0c_0\ne0c0​​=0，ck≠0c_k\ne0ck​​=0，則稱為 kkk 階常係數線性遞迴關係。 求 ana_nan​ 時，需給定前 kkk 項初始值。 當 f(n)=0f(n)=0f(n)=0 時，稱為 homogeneous (齊次) 遞迴關係。 當 f(n)≠0f(n)\ne0f(n)​=0 時，稱為 nonhomogeneous (非齊次) 遞迴關係。 齊次解 方法 對齊次遞迴關係，設 an=Aαna_n=A\alpha^nan​=Aαn，代入 c0an+c1an−1+⋯+ckan−k=0c_0a_n+c_1a_ ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 L4 生成函數 L4-1 一般生成函數 定義 對數列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldotsa0​,a1​,a2​,…，定義 A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯=∑n=0∞anxnA(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nA(x)=a0​+a1​x+a2​x2+⋯=∑n=0∞​an​xn 稱 A(x)A(x)A(x) 為數列 (an)(a_n)(an​) 的 generating function (生成函數)。 Note (1+x)n=∑r=0n(nr)xr(1+x)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}\binom nrx^r(1+x)n=r=0∑n​(rn​)xr 1+x+x2+⋯=11−x=∑n=0∞xn1+x+x^2+\cdots=\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n1+x+x2+⋯=1−x1​=n=0∑∞​xn 為數列 1,1,1,…1,1,1 ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 L3 排列組合與排容原理 L3-2~3 排列 & 組合 定義 nnn 件相異物不允許重複取 rrr 件排列: PrnP_{r}^{n}Prn​ nnn 件相異物允許重複取 rrr 件排列: nrn^rnr nnn 件相異物不允許重複取 rrr 件組合: (nr)\binom{n}{r}(rn​) nnn 件相異物允許重複取 rrr 件組合: (n+r−1r)\binom{n+r-1}{r}(rn+r−1​)，且等價於 rrr 個相同球放至 nnn 個相異箱子，允許空箱之方法數 x1+x2+⋯+xn=rx_1 + x_2 + \cdots + x_n = rx1​+x2​+⋯+xn​=r 之非負整數解個數 x1+x2+⋯+xn=rx_1 + x_2 + \cdots + x_n = rx1​+x2​+⋯+xn​=r 之正整數解個數: (r−1n−1)\binom{r-1}{n-1}(n−1r−1​) Note ∣A∣=m,∣B∣=n|A|=m, |B|=n∣A∣=m,∣B∣=n AAA 至 ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 L2 關係與函數 L2-2 基本關係 定義 reflexive (反身性): R 具有反身性⟺∀a∈A, (a,a)∈RR\text{ 具有反身性}\Longleftrightarrow\forall a\in A,\ (a,a)\in RR 具有反身性⟺∀a∈A, (a,a)∈R irreflexive (非反身性): R 具有非反身性⟺∀a∈A, (a,a)∉RR\text{ 具有非反身性}\Longleftrightarrow\forall a\in A,\ (a,a)\notin RR 具有非反身性⟺∀a∈A, (a,a)∈/​R Note 若 ∣A∣=n|A|=n∣A∣=n: AAA 上的 binary relation 個數: 2n22^{n^2}2n2 AAA 上的 reflexive relation 個數: 2n2−n2^{n^2-n}2n2−n AAA 上的 irreflexive relation 個數: 2n2−n2^{n^2-n}2n2−n 定義 symmetric (對稱性) ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 Ch8 內積上算子 伴隨算子 定義 設 T:V→VT:V\to VT:V→V 為 linear。若存在 T∗:V→VT^*:V\to VT∗:V→V 為 linear，滿足 ⟨T(x⃗),y⃗⟩=⟨x⃗,T∗(y⃗)⟩,∀x⃗,y⃗∈V\langle T(\vec{x}),\vec{y}\rangle=\langle\vec{x},T^*(\vec{y})\rangle, \forall\vec{x},\vec{y}\in V⟨T(x),y​⟩=⟨x,T∗(y​)⟩,∀x,y​∈V 稱 T∗T^*T∗ 為 TTT 之 adjoint operator 定理 設 T:V→VT:V\to VT:V→V 為 linear，則 TTT 之 adjoint T∗T^*T∗ 存在唯一 Note ⟨x⃗,T(y⃗)⟩=⟨T(y⃗),x⃗⟩‾=⟨y⃗,T∗(x⃗)⟩‾=⟨T∗(x⃗),y⃗⟩\langle\vec{x},T(\vec{y})\rangle=\overline{\langle T(\vec{y}),\vec{x}\rangl ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 Ch7 內積空間 內積 定義 設 VVV 為 vector space over FFF。 ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle \cdot,\cdot\rangle:V\times V\to F⟨⋅,⋅⟩:V×V→F 為 function，且對所有 u⃗,v⃗,w⃗∈V\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in Vu,v,w∈V，c,d∈Fc,d\in Fc,d∈F，滿足: ⟨u⃗+v⃗,w⃗⟩=⟨u⃗,w⃗⟩+⟨v⃗,w⃗⟩\langle \vec{u}+\vec{v},\vec{w}\rangle=\langle \vec{u},\vec{w}\rangle+\langle \vec{v},\vec{w}\rangle⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩。 ⟨cu⃗,v⃗⟩=c⟨u⃗,v⃗⟩\langle c\vec{u},\vec{v}\rangle=c\langle \vec{u},\vec{v}\rangle⟨cu,v⟩=c⟨u,v⟩。 ⟨u⃗,v⃗⟩=⟨v⃗,u⃗⟩‾\langle \vec{u}, ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 Ch6 Jordan form 及其應用 這章可以跳著讀，重點為 Cayley-Hamilton theorem 及其應用 冪零算子 定義 設 T:V→VT: V \to VT:V→V 為線性算子。若存在正整數 k∈Z+k \in \mathbb{Z}^{+}k∈Z+，使得 Tk=0T^{k} = 0Tk=0 則稱 TTT 為nilpotent operator (冪零算子)。 其中，使 Tk=0T^{k}=0Tk=0 成立的最小正整數 kkk，稱為 TTT 的index (冪零指數)。 例如若 AAA 為 n×nn \times nn×n 的嚴格下三角矩陣或嚴格上三角矩陣: A=[00⋯0∗0⋯0⋮⋱⋱⋮∗⋯∗0]orA=[0∗⋯∗00⋱⋮⋮⋱⋱∗0⋯00]A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ * & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ * ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 Ch5 對角化及其應用 相似 定義 令 A,BA,BA,B 皆為 n×nn\times nn×n matrices。若存在 n×nn\times nn×n 可逆矩陣 PPP，使得 P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B 則稱 BBB is similar to AAA，記作 A∼BA\sim BA∼B。 Note 相似是一種等價關係: 反身性: A∼AA\sim AA∼A，因為 I−1AI=AI^{-1}AI=AI−1AI=A。 對稱性: 若 A∼BA\sim BA∼B，則存在可逆矩陣 PPP 使得 P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B。 因此 A=PBP−1=(P−1)−1B(P−1)A=PBP^{-1}=(P^{-1})^{-1}B(P^{-1})A=PBP−1=(P−1)−1B(P−1) 所以 B∼AB\sim AB∼A。 遞移性: 若 A∼BA\sim BA∼B 且 B∼CB\sim CB∼C，則存在可逆矩陣 P,QP,QP,Q 使得 P−1AP=B,Q−1BQ=CP^{-1}AP= ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 Ch4 線性映射 線性轉換 定義 令 V,V′V,V'V,V′ 為 field FFF 上的 vector spaces，且 T:V→V′T:V\to V'T:V→V′ 為 function。若 TTT 滿足: 對任意 u⃗,v⃗∈V\vec{u},\vec{v}\in Vu,v∈V，有 T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗)T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})T(u+v)=T(u)+T(v) 對任意 c∈Fc\in Fc∈F、v⃗∈V\vec{v}\in Vv∈V，有 T(cv⃗)=cT(v⃗)T(c\vec{v})=cT(\vec{v})T(cv)=cT(v) 則稱 TTT 為 VVV 至 V′V'V′ 之一 linear transformation，也稱為 linear mapping。 定理 T:V→V′T:V\to V'T:V→V′ 為 linear transformation，等價於以下任一條件: 對任意 c,d∈Fc ...

考研相關文章參考資料為 wjungle 大神提供的筆記 Ch3 向量空間 定義 定義 V≠∅V\ne\emptysetV​=∅, FFF 為 field。若在 VVV 上定義二元運算: 向量加法 +:V×V→V+:V\times V\to V+:V×V→V 純量積 ⋅:F×V→V\cdot:F\times V\to V⋅:F×V→V 且滿足以下公設: 封閉性 ∀u⃗,v⃗∈V\forall \vec{u},\vec{v}\in V∀u,v∈V, u⃗+v⃗∈V\vec{u}+\vec{v}\in Vu+v∈V ∀c∈F\forall c\in F∀c∈F, ∀v⃗∈V\forall \vec{v}\in V∀v∈V, cv⃗∈Vc\vec{v}\in Vcv∈V 交換、結合律 ∀u⃗,v⃗∈V\forall \vec{u},\vec{v}\in V∀u,v∈V, u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}u+v=v+u ∀u⃗,v⃗,w⃗∈V\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V∀u,v,w ...