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Ch2 行列式

二階行列式

定義

$A=\left[\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right]$ , 則 $\det(A)=|A|=ad-bc$

高階行列式

降階法

定義

$A:n*n$ , $det(A)$ 可遞迴定義如下:

若 $n=1$ , 則 $det(A)=a_{11}$
若 $n\ge2$ $n \geq 2$ , 則: $\det(A)=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+\cdots+(-1)^{1+n}a_{1n}\det(A_{1n})$ $det (A) = a_{11} det (A_{11}) - a_{12} det (A_{12}) + \dots + (- 1)^{1 + n} a_{1 n} det (A_{1 n})$
- $A_{ij}$ 表示 $A$ 中去掉第 $i$ 列、第 $j$ 行後所得的 $(n-1)*(n-1)$ submatrix

定義

$A:n*n$ , 定義 $cof(a_{ij})=(-1)^{i+j}\det(A_{ij})$ , 稱為 $A$ 之第 $(i,j)$ 項 cofactor (餘因子)

定理

$A:n*n$ , 則:

$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}cof(a_{ij})$ , $\forall i=1,\cdots,n$ (第 $i$ 列展開)
$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}cof(a_{ij})$ , $\forall j=1,\cdots,n$ (第 $j$ 行展開)
計算時宜找 $0$ 較多的行或列展開

定理

$A:n*n$ , 則 $det(A)=det(A^T)$

行列式之性質

Note

若 $A$ 具零列或零行, 則 $det(A)=0$
若 $A$ 為上三角矩陣或下三角矩陣, 則 $det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ (對角線相乘)
$det(I_n)=1$

性質

列運算與行運算對行列式的影響:

$det(r_{ij}(A))=-det(A)$
$det(r_i^{(k)}(A))=kdet(A)$
$det(r_{ij}^{(k)}(A))=det(A)$

根據以上性質可以把矩陣化為上三角後計算行列式:

定理

$A:n*n$ , 則 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow r(A)=n\Leftrightarrow det(A)\ne0$

等價地, $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow r(A)<n\Leftrightarrow det(A)=0$

定理

$A,B:n*n$ , 則 $det(AB)=det(A)det(B)$
$det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA)$ $d e t (A B) = d e t (A) d e t (B) = d e t (B) d e t (A) = d e t (B A)$
- 當 $A,B$ 不為方陣時, $det(AB)=det(BA)$ 未必成立

性質

$A:n*n$ , 則:

$det(A^2)=det(A)^2$
$det(A^k)=det(A)^k$
若 $A$ 可逆, 則 $det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$
若 $c\in F$ , 則 $det(cA)=c^n det(A)$
$det(-A)=(-1)^n det(A)$
若 $A$ 具二列或二行相同或成倍數, 則 $det(A)=0$

範例

令 $A_n$ 為 $n*n$ 三對角矩陣:

A_n=\begin{bmatrix} 2&-1&0&\cdots&0\\ -1&2&-1&\ddots&\vdots\\ 0&-1&2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\ 0&\cdots&0&-1&2 \end{bmatrix}

求 $det(A_n)$ 。

令 $a_n=det(A_n)$ 。沿第一列展開可得:

$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}$
$a_1=2$
$a_2=\left|\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right|=3$

由遞迴式可得 $a_1=2,a_2=3,a_3=4,\cdots$ , 猜得:

$a_n=n+1$

Note

一般三對角矩陣若主對角線皆為 $a$ , 上對角線皆為 $b$ , 下對角線皆為 $c$ , 記其 $n$ 階行列式為 $a_n$ , 則:

$a_n=a\cdot a_{n-1}-bc\cdot a_{n-2}$
$a_1=a$
$a_2=a^2-bc$

Vandermonde determinant

定理

V(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{i<j}(x_j-x_i)

Note

每一列都由同一個數 $x_i$ 依序形成 $1,x_i,x_i^2,\cdots,x_i^{n-1}$
先確認各列對應的 $x_i$ , 再直接計算所有 $i<j$ 的差 $x_j-x_i$ 並相乘
若有兩個 $x_i$ 相同, 其中一個因子會是 $0$ , 因此 determinant 為 $0$

範例

\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&2&2^2&\cdots&2^{n-1}\\ 1&3&3^2&\cdots&3^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&n&n^2&\cdots&n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le i<j\le n}(j-i)

由差值分組可得:

$j-i=1$ 出現 $n-1$ 次
$j-i=2$ 出現 $n-2$ 次
$\cdots$
$j-i=n-1$ 出現 $1$ 次

因此:
$\prod_{1\le i<j\le n}(j-i)=(n-1)!(n-2)!\cdots2!1!$

分塊矩陣行列式

Note

一般而言:

\det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\ne \det(AD-BC)

不可把分塊矩陣直接當成二階行列式套公式。

若分塊矩陣呈 block upper triangular 或 block lower triangular, 則行列式等於對角分塊行列式相乘:

圖片中的分塊三角公式:

\det\begin{bmatrix}I&0\\C&A\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}I&C\\0&A\end{bmatrix}=\det(A)

\det\begin{bmatrix}A&0\\C&I\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}A&C\\0&I\end{bmatrix}=\det(A)

定理

分塊上三角:

\det\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}=\det(A)\det(B)

分塊下三角:

\det\begin{bmatrix}A&0\\C&B\end{bmatrix}=\det(A)\det(B)

證明

對於分塊上三角矩陣:

\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}I&0\\0&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\0&I\end{bmatrix}

對於分塊下三角矩陣:

\begin{bmatrix}A&0\\C&B\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}A&0\\0&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I&0\\C&B\end{bmatrix}

古典伴隨矩陣

定義

$A:n*n$ , 定義 $adj(A)=[d_{ij}]_{n*n}$ , 其中 $d_{ij}=cof(a_{ji})$ , 稱為 $A$ 之 classical adjoint

定理

$A:n*n$ , 則 $A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=det(A)I_n$

Note

若 $A:n*n$ 可逆, 則 $A^{-1}=\dfrac{adj(A)}{det(A)}$
若 $A=\left[\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right]$ 且 $ad-bc\ne0$ , 則:
$A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\left[\begin{smallmatrix}d&-b\\-c&a\end{smallmatrix}\right]$

克拉瑪公式

定理

$A:n*n$ , $\vec{x}=\left[\begin{smallmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{smallmatrix}\right]$ , $\vec{b}=\left[\begin{smallmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{smallmatrix}\right]$ 。