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Ch2 行列式

二階行列式

定義

A=[abcd]A=\left[\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right], 則 det⁡(A)=∣A∣=ad−bc\det(A)=|A|=ad-bc

高階行列式

降階法

定義

A:n∗nA:n*n, det(A)det(A) 可遞迴定義如下:

  • 若 n=1n=1, 則 det(A)=a11det(A)=a_{11}
  • 若 n≥2n\ge2, 則: det⁡(A)=a11det⁡(A11)−a12det⁡(A12)+⋯+(−1)1+na1ndet⁡(A1n)\det(A)=a_{11}\det(A_{11})-a_{12}\det(A_{12})+\cdots+(-1)^{1+n}a_{1n}\det(A_{1n})
    • AijA_{ij} 表示 AA 中去掉第 ii 列、第 jj 行後所得的 (n−1)∗(n−1)(n-1)*(n-1) submatrix
定義

A:n∗nA:n*n, 定義 cof(aij)=(−1)i+jdet⁡(Aij)cof(a_{ij})=(-1)^{i+j}\det(A_{ij}), 稱為 AA 之第 (i,j)(i,j) 項 cofactor (餘因子)

定理

A:n∗nA:n*n, 則:

  • det⁡(A)=∑j=1naijcof(aij)\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}cof(a_{ij}), ∀i=1,⋯ ,n\forall i=1,\cdots,n (第 ii 列展開)
  • det⁡(A)=∑i=1naijcof(aij)\det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}cof(a_{ij}), ∀j=1,⋯ ,n\forall j=1,\cdots,n (第 jj 行展開)
  • 計算時宜找 00 較多的行或列展開
定理

A:n∗nA:n*n, 則 det(A)=det(AT)det(A)=det(A^T)

行列式之性質

Note
  • 若 AA 具零列或零行, 則 det(A)=0det(A)=0
  • 若 AA 為上三角矩陣或下三角矩陣, 則 det(A)=a11a22⋯anndet(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} (對角線相乘)
  • det(In)=1det(I_n)=1
性質

列運算與行運算對行列式的影響:

  • det(rij(A))=−det(A)det(r_{ij}(A))=-det(A)
  • det(ri(k)(A))=kdet(A)det(r_i^{(k)}(A))=kdet(A)
  • det(rij(k)(A))=det(A)det(r_{ij}^{(k)}(A))=det(A)

根據以上性質可以把矩陣化為上三角後計算行列式:

定理

A:n∗nA:n*n, 則 AA 可逆 ⇔r(A)=n⇔det(A)≠0\Leftrightarrow r(A)=n\Leftrightarrow det(A)\ne0

  • 等價地, AA 不可逆 ⇔r(A)<n⇔det(A)=0\Leftrightarrow r(A)<n\Leftrightarrow det(A)=0
定理
  • A,B:n∗nA,B:n*n, 則 det(AB)=det(A)det(B)det(AB)=det(A)det(B)
  • det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA)det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA)
    • 當 A,BA,B 不為方陣時, det(AB)=det(BA)det(AB)=det(BA) 未必成立
性質

A:n∗nA:n*n, 則:

  • det(A2)=det(A)2det(A^2)=det(A)^2
  • det(Ak)=det(A)kdet(A^k)=det(A)^k
  • 若 AA 可逆, 則 det(A−1)=1det(A)det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}
  • 若 c∈Fc\in F, 則 det(cA)=cndet(A)det(cA)=c^n det(A)
  • det(−A)=(−1)ndet(A)det(-A)=(-1)^n det(A)
  • 若 AA 具二列或二行相同或成倍數, 則 det(A)=0det(A)=0
範例

令 AnA_n 為 n∗nn*n 三對角矩陣:

An=[2−10⋯0−12−1⋱⋮0−12⋱0⋮⋱⋱⋱−10⋯0−12]A_n=\begin{bmatrix} 2&-1&0&\cdots&0\\ -1&2&-1&\ddots&\vdots\\ 0&-1&2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&-1\\ 0&\cdots&0&-1&2 \end{bmatrix}

求 det(An)det(A_n)。

令 an=det(An)a_n=det(A_n)。沿第一列展開可得:

  • an=2an−1−an−2a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}
  • a1=2a_1=2
  • a2=∣2−1−12∣=3a_2=\left|\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right|=3

由遞迴式可得 a1=2,a2=3,a3=4,⋯a_1=2,a_2=3,a_3=4,\cdots, 猜得:

  • an=n+1a_n=n+1
Note

一般三對角矩陣若主對角線皆為 aa, 上對角線皆為 bb, 下對角線皆為 cc, 記其 nn 階行列式為 ana_n, 則:

  • an=a⋅an−1−bc⋅an−2a_n=a\cdot a_{n-1}-bc\cdot a_{n-2}
  • a1=aa_1=a
  • a2=a2−bca_2=a^2-bc

Vandermonde determinant

定理

V(x1,x2,⋯ ,xn)=∣1x1x12⋯x1n−11x2x22⋯x2n−1⋮⋮⋮⋱⋮1xnxn2⋯xnn−1∣=∏i<j(xj−xi)V(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}\\ 1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{i<j}(x_j-x_i)

Note
  • 每一列都由同一個數 xix_i 依序形成 1,xi,xi2,⋯ ,xin−11,x_i,x_i^2,\cdots,x_i^{n-1}
  • 先確認各列對應的 xix_i, 再直接計算所有 i<ji<j 的差 xj−xix_j-x_i 並相乘
  • 若有兩個 xix_i 相同, 其中一個因子會是 00, 因此 determinant 為 00
範例

∣111⋯11222⋯2n−11332⋯3n−1⋮⋮⋮⋱⋮1nn2⋯nn−1∣=∏1≤i<j≤n(j−i)\begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 1&2&2^2&\cdots&2^{n-1}\\ 1&3&3^2&\cdots&3^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&n&n^2&\cdots&n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le i<j\le n}(j-i)

由差值分組可得:

  • j−i=1j-i=1 出現 n−1n-1 次
  • j−i=2j-i=2 出現 n−2n-2 次
  • ⋯\cdots
  • j−i=n−1j-i=n-1 出現 11 次

因此:
∏1≤i<j≤n(j−i)=(n−1)!(n−2)!⋯2!1!\prod_{1\le i<j\le n}(j-i)=(n-1)!(n-2)!\cdots2!1!

分塊矩陣行列式

Note

一般而言:

det⁡[ABCD]≠det⁡(AD−BC)\det\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\ne \det(AD-BC)

不可把分塊矩陣直接當成二階行列式套公式。

若分塊矩陣呈 block upper triangular 或 block lower triangular, 則行列式等於對角分塊行列式相乘:

  • 圖片中的分塊三角公式:

det⁡[I0CA]=det⁡[IC0A]=det⁡(A)\det\begin{bmatrix}I&0\\C&A\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}I&C\\0&A\end{bmatrix}=\det(A)

det⁡[A0CI]=det⁡[AC0I]=det⁡(A)\det\begin{bmatrix}A&0\\C&I\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}A&C\\0&I\end{bmatrix}=\det(A)

定理
  • 分塊上三角:

det⁡[AC0B]=det⁡(A)det⁡(B)\det\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}=\det(A)\det(B)

  • 分塊下三角:

det⁡[A0CB]=det⁡(A)det⁡(B)\det\begin{bmatrix}A&0\\C&B\end{bmatrix}=\det(A)\det(B)

證明
  • 對於分塊上三角矩陣:

[AC0B]=[I00B][AC0I]\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}I&0\\0&B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&C\\0&I\end{bmatrix}

  • 對於分塊下三角矩陣:

[A0CB]=[A00I][I0CB]\begin{bmatrix}A&0\\C&B\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}A&0\\0&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I&0\\C&B\end{bmatrix}

古典伴隨矩陣

定義

A:n∗nA:n*n, 定義 adj(A)=[dij]n∗nadj(A)=[d_{ij}]_{n*n}, 其中 dij=cof(aji)d_{ij}=cof(a_{ji}), 稱為 AA 之 classical adjoint

定理

A:n∗nA:n*n, 則 A⋅adj(A)=adj(A)⋅A=det(A)InA\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=det(A)I_n

Note
  • 若 A:n∗nA:n*n 可逆, 則 A−1=adj(A)det(A)A^{-1}=\dfrac{adj(A)}{det(A)}
  • 若 A=[abcd]A=\left[\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right] 且 ad−bc≠0ad-bc\ne0, 則:
    A−1=1ad−bc[d−b−ca]A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\left[\begin{smallmatrix}d&-b\\-c&a\end{smallmatrix}\right]

克拉瑪公式

定理

A:n∗nA:n*n, x⃗=[x1⋮xn]\vec{x}=\left[\begin{smallmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{smallmatrix}\right], b⃗=[b1⋮bn]\vec{b}=\left[\begin{smallmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{smallmatrix}\right]。

令 Ai(b⃗)A_i(\vec{b}) 表示將 AA 的第 ii 行換成 b⃗\vec{b} 後所得矩陣:

Ai(b⃗)=[a1⃗ ⋯ a⃗i−1 b⃗ a⃗i+1 ⋯ an⃗]A_i(\vec{b})=[\vec{a_1}\ \cdots\ \vec{a}_{i-1}\ \vec{b}\ \vec{a}_{i+1}\ \cdots\ \vec{a_n}]

設 Δ=det(A)\Delta=det(A), Δi=det(Ai(b⃗))\Delta_i=det(A_i(\vec{b}))。若 AA 可逆, 則 Ax⃗=b⃗A\vec{x}=\vec{b} 的解為:

x1=Δ1Δ, x2=Δ2Δ, ⋯ , xn=ΔnΔx_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \cdots,\ x_n=\frac{\Delta_n}{\Delta}

Note
  • 需要 det(A)≠0det(A)\ne0, 也就是 AA 可逆
  • 要求 xix_i 時, 將 AA 的第 ii 行換成 b⃗\vec{b}, 再計算 det(Ai(b⃗))/det(A)det(A_i(\vec{b}))/det(A)