線性代數-4

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Ch4 線性映射

線性轉換

定義

令 $V,V'$ 為 field $F$ 上的 vector spaces，且 $T:V\to V'$ 為 function。若 $T$ 滿足:

• 對任意 $\vec{u},\vec{v}\in V$，有 $T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})$
• 對任意 $c\in F$、$\vec{v}\in V$，有 $T(c\vec{v})=cT(\vec{v})$

則稱 $T$ 為 $V$ 至 $V'$ 之一 linear transformation，也稱為 linear mapping。

定理

$T:V\to V'$ 為 linear transformation，等價於以下任一條件:

• 對任意 $c,d\in F$、$\vec{u},\vec{v}\in V$，有 $T(c\vec{u}+d\vec{v})=cT(\vec{u})+dT(\vec{v})$
• 對任意 $c\in F$、$\vec{u},\vec{v}\in V$，有 $T(c\vec{u}+\vec{v})=cT(\vec{u})+T(\vec{v})$

Note

若 $T:V\to V'$ 為 linear transformation，則:

• 重要 $T(\vec{0})=\vec{0}$
• $T(-\vec{v})=-T(\vec{v})$
• $T(\vec{u}-\vec{v})=T(\vec{u})-T(\vec{v})$

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定理

令 $V,V'$ 為 field $F$ 上的 vector spaces，且 $\beta=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\}$ 為 $V$ 的一組 basis。

若任取 $\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_n\in V'$，則存在唯一的 linear transformation $T:V\to V'$，使得 $T(\vec{v}_1)=\vec{w}_1,\dots,T(\vec{v}_n)=\vec{w}_n$

Note

matrix transformation:
令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，定義 $T:F^{n\times 1}\to F^{m\times 1}$ by $T(\vec{x})=A\vec{x}$ 則 $T$ 為 linear transformation。

Note

若 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 為 linear transformation，則存在唯一 $m\times n$ matrix $A$，使得 $T(\vec{x})=A\vec{x}$

其中 $A=[T(\vec{e}_1)\ T(\vec{e}_2)\ \cdots\ T(\vec{e}_n)]$為 $T$ 的 standard matrix。

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Note

常見之 linear transformation:

• rotation: 旋轉
• projection: 投影
• reflection: 鏡射

範例

令 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 為逆時針旋轉 $\theta$ 的 linear transformation，求 $T$ 之 standard matrix。

因為 $\mathbb{R}^2$ 的 standard basis 為 $\vec{e}_1=(1,0)$、$\vec{e}_2=(0,1)$，且 $T(\vec{e}_1)=(\cos\theta,\sin\theta), T(\vec{e}_2)=(-\sin\theta,\cos\theta)$

所以逆時針旋轉 $\theta$ 的 standard matrix 為:

$R_{\theta}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$

若是順時針旋轉 $\theta$，則等同於逆時針旋轉 $-\theta$，其 standard matrix 為:

$R_{-\theta}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$

Note

旋轉矩陣常用性質:

• $R_{\theta}^{-1}=R_{-\theta}$
• $(R_{\theta})^n=R_{n\theta}$

Note

rotation in $\mathbb{R}^3$:

繞 $z$ 軸逆時針旋轉 $\theta$:

$\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta&0\\ \sin\theta&\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

繞 $x$ 軸逆時針旋轉 $\theta$:

$\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta\\ 0&\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}$

繞 $y$ 軸逆時針旋轉 $\theta$:

$\begin{bmatrix} \cos\theta&0&\sin\theta\\ 0&1&0\\ -\sin\theta&0&\cos\theta \end{bmatrix}$

dilation / contraction:

若 $T(\vec{x})=k\vec{x}$，則 $k\ge 1$ 時為 dilation，$0<k<1$ 時為 contraction，其 standard matrix 為:

$A=\begin{bmatrix} k&0&0\\ 0&k&0\\ 0&0&k \end{bmatrix}$

Note

translation:
令 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ by

$T\left(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}x+2\\y+3\end{bmatrix}$

則 $T$ 不是 linear transformation，因為 $T(\vec{0})\ne\vec{0}$。

但可用 homogeneous coordinate 表示為矩陣乘法:

$\begin{bmatrix}x+2\\y+3\\1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0&2\\ 0&1&3\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}$

這裡最後一個座標固定為 $1$，用來把平移寫成矩陣形式。

座標化

定義

令 $\beta=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_n\}$ 為 $V$ 的一組 ordered basis。

若 $\vec{v}\in V$，且 $\vec{v}=c_1\vec{v}_1+c_2\vec{v}_2+\cdots+c_n\vec{v}_n$

則稱

$[\vec{v}]_{\beta}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$

為 $\vec{v}$ 相對於 $\beta$ 之 coordinate vector。

Note

設 $\beta$ 為 $V$ 的一組 ordered basis。

1. $[\vec{v}]_{\beta}$ 存在且唯一。
2. $[c_1\vec{v}_1+\cdots+c_k\vec{v}_k]_{\beta}=c_1[\vec{v}_1]_{\beta}+\cdots+c_k[\vec{v}_k]_{\beta}$。
3. $[\vec{u}]_{\beta}=[\vec{v}]_{\beta}\iff \vec{u}=\vec{v}$。
4. 若 $\dim(V)=n$，則對任意 $\vec{x}\in F^{n\times1}$，存在唯一 $\vec{v}\in V$，使得 $[\vec{v}]_{\beta}=\vec{x}$。

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定義

令 $V,W$ 為 field $F$ 上的 vector spaces。
若存在 $T:V\to W$，且 $T$ 為 linear、one-to-one、onto，則稱 $T$ 為 linear isomorphism (線性同構函數)。

此時稱 $V$ 與 $W$ 為 isomorphic (同構)，記作 $V\cong W$

Note

有限維向量空間的同構 (維度相同即同構):

• 若 $\dim(V)=n$，則 $V\cong F^{n\times1}$。
• $\cong$ 為一種等價關係。
• 若 $\dim(V)=\dim(W)=n$，則 $V\cong W$。

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Note

令 $\beta=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\}$ 與 $\gamma=\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_n\}$ 皆為 $V$ 的 ordered basis。

若 $\vec{v}\in V$，且 $\vec{v}=c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n$

將 $\vec{v}$ 改以 $\gamma$ 表示時，有 $[\vec{v}]_{\gamma}=[c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n]_{\gamma}=c_1[\vec{v}_1]_{\gamma}+\cdots+c_n[\vec{v}_n]_{\gamma}$

因此 $[\vec{v}]_{\gamma}=\begin{bmatrix}[\vec{v}_1]_{\gamma}&[\vec{v}_2]_{\gamma}&\cdots&[\vec{v}_n]_{\gamma}\end{bmatrix}[\vec{v}]_{\beta}=[I]_{\beta}^{\gamma}[\vec{v}]_{\beta}$

稱 $[I]_{\beta}^{\gamma}$ 為從 $\beta$ 到 $\gamma$ 的 transition matrix，或 change of coordinate matrix。

• $[I]_{\beta}^{\gamma}$ 可逆，且 $[I]_{\gamma}^{\beta}=\left([I]_{\beta}^{\gamma}\right)^{-1}$

Note

求 transition matrix 時，可使用標準基底作為中間項。
令 $\delta$ 為 $F^{n\times1}$ 的 standard basis，則 $[I]_{\beta}^{\gamma}=[I]_{\delta}^{\gamma}[I]_{\beta}^{\delta} =\left([I]_{\gamma}^{\delta}\right)^{-1}[I]_{\beta}^{\delta}$

• 可利用 $[B\mid A]\overset{r}{\sim}[I\mid B^{-1}A]$ 求解

矩陣表示法

Note

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation，且 $\dim(V)=n$、$\dim(V')=m$。

設 $\beta=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\}$ 為 $V$ 的 ordered basis，$\gamma=\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_m\}$ 為 $V'$ 的 ordered basis。

若 $\vec{v}\in V$，且 $\vec{v}=c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n$，則

$[\vec{v}]_{\beta}=\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$

由線性性質可得 $[T(\vec{v})]_{\gamma}=[T(c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n)]_{\gamma}=c_1[T(\vec{v}_1)]_{\gamma}+\cdots+c_n[T(\vec{v}_n)]_{\gamma}$

因此

$[T(\vec{v})]_{\gamma} =\begin{bmatrix} [T(\vec{v}_1)]_{\gamma}&[T(\vec{v}_2)]_{\gamma}&\cdots&[T(\vec{v}_n)]_{\gamma} \end{bmatrix} [\vec{v}]_{\beta}=[T]_{\beta}^{\gamma}[\vec{v}]_{\beta}$

稱 $[T]_{\beta}^{\gamma}$ 為 $T$ 相對於 ordered bases $\beta,\gamma$ 的 matrix representation。

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定理

換底公式:
令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $\beta,\gamma$ 為 $V$ 的兩組 ordered bases。

則 $[T]_{\gamma}^{\gamma} =[I]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\beta}^{\beta}[I]_{\gamma}^{\beta}$

也可寫成 $B=P^{-1}AP$

• $A$ 與 $B$ similar

定理

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

設 $\beta,\gamma$ 為 $V$ 的兩組 ordered bases，$\beta',\gamma'$ 為 $V'$ 的兩組 ordered bases。

則 $[T]_{\gamma}^{\gamma'}=[I]_{\beta'}^{\gamma'}[T]_{\beta}^{\beta'}[I]_{\gamma}^{\beta}$
可寫成 $B=PAQ$

Kernel 與 Image

定義

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

• 若 $S\subseteq V$，定義 $T(S)=\{T(\vec{v})\mid \vec{v}\in S\}$，稱為 $S$ under $T$ 的 direct image。
• 若 $S'\subseteq V'$，定義 $T^{-1}(S')=\{\vec{v}\in V\mid T(\vec{v})\in S'\}$，稱為 $S'$ under $T$ 的 inverse image。
  • $T^{-1}(S')$ 不需要 $T$ 可逆。

定理

保持 subspace:
令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

• 若 $W\overset{s}{\subseteq}V$，則 $T(W)\overset{s}{\subseteq}V'$。
• 若 $W'\overset{s}{\subseteq}V'$，則 $T^{-1}(W')\overset{s}{\subseteq}V$。

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定義

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

• $\ker(T)=\{\vec{v}\in V\mid T(\vec{v})=\vec{0}\}$，稱為 $T$ 的 kernel/nullspace，記作 $N(T)$。
• $\operatorname{Im}(T)=T(V)=\{T(\vec{v})\mid \vec{v}\in V\}$，稱為 $T$ 的 image/range，記作 $R(T)$。

Note

1. 因為 $V\overset{s}{\subseteq}V$，所以 $\operatorname{Im}(T)=T(V)\overset{s}{\subseteq}V'$。
2. 因為 $\{\vec{0}\}\overset{s}{\subseteq}V'$，所以 $\ker(T)=T^{-1}(\{\vec{0}\})\overset{s}{\subseteq}V$。
3. 定義 $\operatorname{rank}(T)=\dim(\operatorname{Im}(T))$。
4. 定義 $\operatorname{nullity}(T)=\dim(\ker(T))$。

定理

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

若 $S=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\}$ 為 $V$ 的 basis，或更一般地 $S$ 生成 $V$，則

$\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}(T(S)) =\operatorname{span}\{T(\vec{v}_1),\dots,T(\vec{v}_n)\}$

因此要求 $\operatorname{Im}(T)$ 時，只要把 $V$ 的一組生成集 (通常取標準基底) 丟進 $T$，再取其 span 即可。

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定理

Rank-Nullity Theorem / Dimension Theorem / Sylvester's 1st Law:

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。則

$\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\operatorname{nullity}(T)+\operatorname{rank}(T)$

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Note

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

• $T$ 為 1-1/injective $\iff$ 若 $T(\vec{u})=T(\vec{v})$，則 $\vec{u}=\vec{v}$。
• $T$ 為 onto/surjective $\iff R(T)=V'$。
• $T$ 為 bijective $\iff T$ 同時為 1-1 且 onto。

定理

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

則 $T\text{ is 1-1}\iff \ker(T)=\{\vec{0}\}$

Note

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

• $T$ is 1-1 $\iff \ker(T)=\{\vec{0}\}$ $\iff \operatorname{nullity}(T)=0$ $\iff \operatorname{rank}(T)=\dim(V)$。
• $T$ is onto $\iff R(T)=V'$ $\iff \operatorname{rank}(T)=\dim(V')$ $\iff \operatorname{nullity}(T)=\dim(V)-\dim(V')$。

可得:

• 若 $T$ is 1-1，則 $\dim(V)\le \dim(V')$。
• 若 $T$ is onto，則 $\dim(V)\ge \dim(V')$。
• 若 $T$ is 1-1 且 onto，則 $\dim(V)=\dim(V')$。
• 對有限維向量空間而言，同構必同維。

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Note

矩陣轉換與四大子空間:

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，定義 $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ by $T(\vec{x})=A\vec{x}$，則 $T$ 為 linear transformation。

• $R(T)=\operatorname{Im}(T)=\{A\vec{x}\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^n\}=CS(A)=R(A)$。
• $N(T)=\ker(T)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n\mid A\vec{x}=\vec{0}\}=\ker(A)=N(A)$。
• $RS(A)=R(A^T)$。
• $\operatorname{Lker}(A)=\ker(A^T)=N(A^T)$。

因此:

• $T$ is 1-1 $\iff \ker(T)=\ker(A)=\{\vec{0}\}$ $\iff A$ 的欄向量 LI $\iff \operatorname{rank}(A)=n$。
  • 必為長矩陣 (反向不成立)
• $T$ is onto $\iff R(T)=CS(A)=\mathbb{R}^m$ $\iff A$ 的欄向量生成 $\mathbb{R}^m$ $\iff \operatorname{rank}(A)=m$。
  • 必為扁矩陣 (反向不成立)

所以 $A$ 若同時滿足欄向量 LI 且生成 $\mathbb{R}^m$，則 $T$ 為 bijective。

定理

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。
若 $\dim(V)=\dim(V')$，則 $T\text{ is 1-1}\iff T\text{ is onto}$

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定義

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。

1. 若對任意 $S\subseteq V$，$S$ 為 LD 時皆有 $T(S)$ 為 LD，則稱 $T$ 保相依。
2. 若對任意 $S\subseteq V$，$S$ 為 LI 時皆有 $T(S)$ 為 LI，則稱 $T$ 保獨立。
3. 若對任意 $S\subseteq V$，$S$ 生成 $V$ 時皆有 $T(S)$ 生成 $V'$，則稱 $T$ 保生成。

定理

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。
則 $T$ 保相依。

定理

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。
則 $T$ is 1-1 $\iff T$ 保獨立。

Note

• 對任意 linear transformation，若 $\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\}$ 為 LD，則 $\{T(\vec{v}_1),\dots,T(\vec{v}_k)\}$ 為 LD。
• 若 $T$ is 1-1，則 $\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\}$ 為 LI $\iff \{T(\vec{v}_1),\dots,T(\vec{v}_k)\}$ 為 LI。
• 若 $T$ is 1-1，則 $\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\}$ 為 LD $\iff \{T(\vec{v}_1),\dots,T(\vec{v}_k)\}$ 為 LD。

定理

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。
則 $T$ is onto $\iff T$ 保生成。

矩陣的 Rank

定義

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix。

• 定義 $rr(A)=\dim(RS(A))$，稱為 $A$ 的 row rank。
• 定義 $cr(A)=\dim(CS(A))$，稱為 $A$ 的 column rank。

定理

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，則 $rr(A)=cr(A)$

共同的值稱為 $A$ 的 rank，記作 $\operatorname{rank}(A)$。
可從三個角度理解:

• row space 的維度。
• column space 的維度。
• 將 $A$ 化為 rref 後，非零列的數目。

Note

• $A=O \iff \operatorname{rank}(A)=0$。
• 若 $A$ 為 $m\times n$ matrix，則 $\operatorname{rank}(A)\le \min\{m,n\}$。
• $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T)$。
• 若 $A\overset{r}{\sim}B$，則 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$。
• 若 $A\overset{c}{\sim}B$，則 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$。
• 若 $P,Q$ 皆可逆，則 $\operatorname{rank}(PA)=\operatorname{rank}(A)$，且 $\operatorname{rank}(AQ)=\operatorname{rank}(A)$。

定理

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，$B$ 為 $n\times p$ matrix，則 $\operatorname{rank}(AB)\le \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\}$

範例

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，$B$ 為 $n\times m$ matrix，且 $m>n$。證明 $AB$ 不可逆。
因為 $AB$ 為 $m\times m$ matrix，且 $\operatorname{rank}(AB)\le \operatorname{rank}(A)\le n<m$，故 $AB$ 不可逆。

Note

若 $A$ 為非零矩陣，則 $\operatorname{rank}(A)=1$ 等價於 $A$ 可寫成 $A=\vec{x}\vec{y}^{T}$

例如:

$A= \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\ 2&4&6&8\\ 3&6&9&12\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&3&4 \end{bmatrix}$

因此 $A=\vec{x}\vec{y}^{T}$，且 $\operatorname{rank}(A)=1$。

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Note

rank 的幾何意義: 矩陣可視為線性轉換。

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，並定義 $T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ by $T(\vec{x})=A\vec{x}$。則:

• $\operatorname{rank}(T)=\dim(R(T))=\dim(R(A))=\operatorname{rank}(A)$。
• $\operatorname{nullity}(T)=\dim(N(T))=\dim(N(A))=\operatorname{nullity}(A)$。

定理

矩陣版維度定理:

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，則 $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n$

• $n$ 是 $A$ 的欄數，也就是對應線性轉換 $T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$ 的定義域維度。

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Lemma

令 $A,B$ 皆為 $m\times n$ matrix，則:

• $CS(A+B)\subseteq CS(A)+CS(B)$。
• $RS(A+B)\subseteq RS(A)+RS(B)$。

定理

令 $A,B$ 皆為 $m\times n$ matrix，則 $\operatorname{rank}(A+B)\le \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$

Corollary

令 $A,B$ 皆為 $m\times n$ matrix，則 $\operatorname{rank}(A-B)\ge \operatorname{rank}(A)-\operatorname{rank}(B)$

• $\operatorname{rank}(A)\le \operatorname{rank}(A-B)+\operatorname{rank}(B)$

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定理

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，則:

• $A$ 具有左反矩陣 $\iff \operatorname{rank}(A)=n\le m$。
• $A$ 具有右反矩陣 $\iff \operatorname{rank}(A)=m\le n$。

Note

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，則

$A$ 具有左反矩陣 $\iff \operatorname{rank}(A)=n$
$\iff \dim(CS(A))=n\iff A \text{ 的欄向量 LI in } F^{m\times 1}$
$\iff \dim(RS(A))=n\iff A \text{ 的列向量生成 } F^{1\times n}$

$A$ 具有右反矩陣$\iff \operatorname{rank}(A)=m$
$\iff \dim(RS(A))=m\iff A \text{ 的列向量 LI in } F^{1\times n}$
$\iff \dim(CS(A))=m\iff A \text{ 的欄向量生成 } F^{m\times 1}$

Note

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix，$\vec{x}\in F^{n\times 1}$，$\vec{b}\in F^{m\times 1}$。

• $A\vec{x}=\vec{b}$ 有解 $\iff \vec{b}\in CS(A)$。
• $A\vec{x}=\vec{b}$ 對所有 $\vec{b}\in F^{m\times 1}$ 皆有解$\iff CS(A)=F^{m\times 1}\iff \operatorname{rank}(A)=m$
  • 欄向量生成定義域
• $A\vec{x}=\vec{b}$ 對所有 $\vec{b}$ 至多一解 $\iff \operatorname{rank}(A)=n$
  • 欄向量 LI
  • 仍可能無解，但有解則唯一

範例

1. 若 $A$ 為 $3\times 5$ matrix，且 $\operatorname{rank}(A)=3$:
   對所有 $\vec{b}$，$A\vec{x}=\vec{b}$ 皆有解。
   又因 $n-r(A)=5-3=2$，所以每個 $\vec{b}$ 都有無限多解。

2. 若 $A$ 為 $4\times 3$ matrix，且 $\operatorname{rank}(A)=3$:
   $A$ 的欄向量 LI，所以對所有 $\vec{b}$，$A\vec{x}=\vec{b}$ 至多一解。
   因 $r(A)<m$，並非每個 $\vec{b}$ 都有解。

3. 若 $A$ 為 $3\times 4$ matrix，且 $\operatorname{rank}(A)=2$:
   $r(A)<m$，並非每個 $\vec{b}$ 都有解。
   若 $\vec{b}\in CS(A)$，則因 $n-r(A)=4-2=2$，有無限多解。

四大空間之基底

Note

令 $A$ 為 $m\times n$ matrix。

• $CS(A)=R(A)$
• $RS(A)=R(A^T)$
• $\ker(A)=N(A)$
• $\operatorname{Lker}(A)=N(A^T)$

且有:

• $\dim(R(A))+\dim(N(A))=n$
• $\dim(R(A^T))+\dim(N(A^T))=m$

範例

求四大空間基底的流程:

1. 先將 $A$ 化為 rref，記作 $U$。
2. $RS(A)$: 取 $U$ 的非零列向量。
3. $\ker(A)$: 解 $U\vec{x}=\vec{0}$，由一般解取參數向量。
4. $CS(A)$: 找出 $U$ 的 pivot columns，再回到原矩陣 $A$ 取對應欄向量。
5. $\operatorname{Lker}(A)$: 解 $A^T\vec{y}=\vec{0}$。

令

$A= \begin{bmatrix} 1&2&1&3&2\\ 3&4&9&0&7\\ 2&3&5&1&8\\ 2&2&8&-3&5 \end{bmatrix} \overset{r}{\sim} U= \begin{bmatrix} 1&0&7&0&-39\\ 0&1&-3&0&31\\ 0&0&0&1&-7\\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$

合成與可逆

Note

令 $T:V\to W$、$U:W\to Z$ 皆為 linear transformations。
定義 $U\circ T:V\to Z$ by $(U\circ T)(\vec{v})=U(T(\vec{v}))$ 稱為 $U$ 與 $T$ 的合成。

• 因為 $T$ 與 $U$ 皆保持向量加法與純量乘法，所以 $UT$ 也是 linear transformation。
• 且 $[UT]_{\beta}^{\delta}=[U]_{\gamma}^{\delta}[T]_{\beta}^{\gamma}$

Note

若 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $\beta$ 為 $V$ 的 ordered basis，則

$[T^2]_{\beta}^{\beta} =[T\circ T]_{\beta}^{\beta} =[T]_{\beta}^{\beta}[T]_{\beta}^{\beta} =([T]_{\beta}^{\beta})^2$

一般化成 $[T^n]_{\beta}^{\beta}=([T]_{\beta}^{\beta})^n$

定義

令 $T:V\to V'$ 為 linear transformation。若存在 function $U:V'\to V$，使得 $TU=I_{V'} \quad \text{且} \quad UT=I_V$

則稱 $T$ 為可逆，且 $U$ 為 $T$ 的反函數，記作 $U=T^{-1}$。

Note

$T$ 為可逆 $\iff T$ 為 bijective。

定理

若 $T:V\to V'$ 為 linear transformation 且可逆，則 $T^{-1}:V'\to V$ 也是 linear transformation。

範例