生物統計-2

Exploratory Data Analysis

Coefficient of Variation (CV)

變異係數

• $CV=\frac{S}{\bar X}\times 100\%$
  • $S$: standard deviation
  • $\bar X$: mean
• Unitless (無單位)
• 適合比較不同單位或不同數值尺度的資料
• CV 越大，表示相對變異程度越大

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資料進行線性轉換: $X^*=a+bX$

得到 $CV^*=\frac{bS}{a+b\bar X}$
若 $a\neq0$: $CV^*\neq CV$

Categorical Data 圖表

• Side-by-side Bar Plot: 比較兩個 categorical variables
• Pie Chart: 各類別占整體的比例
• Bar Chart: 可依特定順序排列、方便比較各 category 的大小

Numerical Data 圖表

• Histogram
  • X-axis: 將數值切成多個 intervals / classes
  • Y-axis: 每個區間中的 frequency 或 count
  • Class width 可使用軟體預設，也可自行指定
• Stem-leaf Plot (莖葉圖)
  • Stem 的選擇類似 histogram 的 class width
  • Split: 若 leaf 太長，可以將一個 stem 拆成兩列
    • ex: 0-4、5-9

Boxplot

• Box 上/下緣: $Q_3/Q_1$
• Box 長度: $IQR=Q_3-Q_1$
• 粗線為 median
• Inner Fence
  • $f_1=Q_1-1.5IQR$
  • $f_3=Q_3+1.5IQR$
• Outer Fence
  • $F_1=Q_1-2(1.5IQR)=Q_1-3IQR$
  • $F_3=Q_3+2(1.5IQR)=Q_3+3IQR$

• median 位於 box 中央附近: data 較接近 symmetric
• median 明顯偏向一側: data 可能 skewed

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• Histogram: 看完整分布形狀
• Boxplot: 看位置、變異與群體比較

Cumulative Distribution Function

CDF

$F(x)=Pr(X\le x)$

• Step function
• Right continuous (右連續)

Probability Theory

Set Theory

• Sample Space $S$
• Empty Set $\phi$
• Union $A\cup B$
• Intersection $A\cap B$
• Mutually Exclusive (互斥) $A\cap B=\phi$

Axioms of Probability

• $P(S)=1$
• $P(A)\ge0$
• 若 $A_1,A_2,\dots$ mutually exclusive
  • $P(A_1\cup A_2\cup\cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$

Addition Rule

對任意兩事件: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

若 A、B 互斥: $P(A\cap B)=0$
所以: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$

Conditional Probability

在 B 已經發生的條件下，A 發生的機率: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

• $P(B)\neq0$

• $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

Independence

• $P(A\mid B)=P(A)$
• $P(B\mid A)=P(B)$
• $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

Mutually Exclusive vs. Independent

• Mutually Exclusive: $P(A\cap B)=0$
• Independent: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$

若 A、B mutually exclusive 且 $P(A)>0, P(B)>0$

則 $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=0$

但 $P(A)>0$，因此: $P(A\mid B)\neq P(A)$

互斥事件不可能獨立，空集合為例外。

Association

• Positive Association: $P(B\mid A)>P(B)$
  • 在 A 發生的群體中，B 的比例比整體更高
• Negative Association: $P(B\mid A)<P(B)$
  • A 發生時，B 反而較不容易發生

Two-way Table

	B	$B^c$	Total
A	$A\cap B$	$A\cap B^c$	A
$A^c$	$A^c\cap B$	$A^c\cap B^c$	$A^c$
Total	B	$B^c$	1

Pairwise Independence vs. Mutual Independence

Pairwise independent 不代表所有事件 mutually independent