Two-way Tables and Conditional Probabilities

Independence 的應用: Sensitive Questions

可以透過隨機化設計，讓受訪者不必直接回答敏感問題。

基本想法: $P(\text{Yes})=P(\text{choose A and Yes})+P(\text{choose B and Yes})$

若「選到哪題」與敏感行為 independent，則: $P(\text{choose B and Yes})=P(\text{choose B})P(\text{Yes to B})$

因此可由整體 Yes 比例反推出敏感行為比例。

Genetics

基本名詞

名詞	意義
Gene	基因
Allele	等位基因
Genotype	基因型
Phenotype	表現型
Homozygous	同型合子
Heterozygous	異型合子
Dominant	顯性
Recessive	隱性

通常:

大寫: dominant allele
小寫: recessive allele

Probability Computation Rules

Addition Rule

若 A、B mutually exclusive: $A\cap B=\varnothing$

則: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

只有互斥事件才能直接把機率相加

Multiplication Rule

兩事件: $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)$

三事件: $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2)$

一般化: $P(A_1\cap\cdots\cap A_k)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_k\mid A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})$

Diagnostic Test

設:

$A$ = true positive status
$A^c$ = true negative status
$B$ = test positive
$B^c$ = test negative

	True +	True -
Test +	True Positive	False Positive
Test -	False Negative	True Negative

False Positive Rate
- 沒有疾病，卻驗成 positive
- $\alpha=P(B\mid A^c)$
False Negative Rate
- 真的有疾病，卻驗成 negative
- $\beta=P(B^c\mid A)$

Sensitivity
- 有病的人中，成功驗出 positive 的機率:
- $Sensitivity=P(B\mid A)=1-\beta$
Specificity
- 沒有病的人中，成功驗出 negative 的機率
- $Specificity=P(B^c\mid A^c)=1-\alpha$

Risk Evaluation

Relative Risk (RR)

Relative Risk 比較 exposed 與 non-exposed 的 disease risk:

$RR=\frac{P(D\mid E)}{P(D\mid E^c)}$

$RR=\frac{a/(a+c)}{b/(b+d)}$

判讀:

$RR > 1$ : exposure 增加 risk
$RR = 1$ : risk 相同
$RR < 1$ : exposed group risk 較低

Odds & Odds Ratio (OR)

$Odds(D)=\frac{P(D)}{P(D^c)}$

Exposed group: $Odds_E=\frac{a}{c}$
Non-exposed group: $Odds_{E^c}=\frac{b}{d}$

$OR=\frac{a/c}{b/d} =\frac{ad}{bc}$

判讀:

$OR = 1$ : no association
$OR > 1$ : positive association
$OR < 1$ : negative association

RR vs. OR

	RR	OR
比較	Risk	Odds
公式	$P(D\mid E)/P(D\mid E^c)$	$ad/bc$
Reference value	1	1
Case-control	不可直接估	可估

Different Sampling Schemes

Fix Total
- 只固定整體 sample size
- Multinomial sampling
  - RR 可估
  - OR 可估
Fix Row Totals
- 固定 exposed 與 non-exposed 人數
- Binomial sampling
  - RR 可估
  - OR 可估
Fix Column Totals
- case-control study
- 固定: Diseased total/Healthy total
- RR 不可直接估
- OR 可估

case-control study 先固定 disease status，所以: $\frac{a}{a+c}$ 和 $\frac{b}{b+d}$ 不再代表母體中的真正 disease risk。適合 rare disease、節省時間/成本

Bayes Theorem

Partition

若: $A_1,A_2,\ldots,A_k$ partition sample space，需滿足:

$A_i\cap A_j=\varnothing\quad(i\neq j)$
$A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_k=S$

Total Probability

$P(B)=\sum_k P(B\mid A_k)P(A_k)$

Bayes Formula

$P(A_j\mid B)=\frac{P(B\mid A_j)P(A_j)}{P(B)}$

代入 total probability:

$P(A_j\mid B)=\frac{P(B\mid A_j)P(A_j)}{\sum_kP(B\mid A_k)P(A_k) }$

Diagnostic Test + Bayes

實驗室通常給 sensitivity: $P(\text{test +}\mid\text{disease})$

但受測者真正想知道的是: $P(\text{disease}\mid\text{test +})$

使用 Bayes theorem:

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$

而: $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)$

所以: $P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)}$