生物統計-6

Continuous Random Variables

Probability Density Function (PDF)

對 continuous random variable $X$，probability density function 記為 $f(x)$。

區間機率由 density curve 下方的面積計算:

$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$

Cumulative Distribution Function (CDF)

對 continuous random variable:

$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)\,du$

PDF 與 CDF 的關係:

$f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$

單點機率為 0

若 $X$ 為 continuous random variable: $P(X=a)=0$

Continuous distribution 計算區間機率時，不必在意端點是否有等號

Important Parameters

• Mean: $\mu=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)\,dx$
• Quartiles:
  • $\int_{-\infty}^{Q_1}f(x)\,dx=\frac14$
  • $\int_{-\infty}^{M}f(x)\,dx=\frac12$
  • $\int_{-\infty}^{Q_3}f(x)\,dx=\frac34$
• Mode: 使 probability density function 最高的位置
• kth Moment: $E(X^k)=\int_{-\infty}^{\infty}x^kf(x)\,dx$
• Variance:
  • 積分形式: $Var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx$
  • 常用計算式: $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)\,dx-\mu^2$

Uniform Distribution

若: $X\sim U(a,b)$

• PDF: $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$
• Mean: $E(X)=\frac{a+b}{2}$
• Variance: $Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$

因此 $|b-a|$ 越大，distribution 越分散。

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Uniform(0,1)

若: $U\sim U(0,1)$

則在 $0\le u\le1$ 時: $f(u)=1$

CDF:

$P(U\le u)=\begin{cases}0, & u<0\\u, & 0\le u\le1\\1, & u>1\end{cases}$

Normal Distribution

若: $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

則:

• $E(X)=\mu$
• $Var(X)=\sigma^2$
• PDF: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

重要性質:

• Normal distribution = Gaussian distribution
• 以 $x=\mu$ 為中心對稱
• $\mu$ 控制中心位置
• $\sigma^2$ 控制分散程度
• $Mean=Median=Mode=\mu$

Standard Normal Distribution

$Z\sim N(0,1)$

因此:

• $E(Z)=0$
• $Var(Z)=1$
• PDF: $f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$
• 標準常態的 CDF 通常記為: $\Phi(z)=P(Z\le z)$
  • Z table 就是在查: $P(Z\le z)$

Standardization

若: $X\sim N(\mu,\sigma^2)$

則: $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$

所以:

$P(a\le X\le b)=P\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right)$

先標準化，接著查 Z table

常見題型

• Type 1: 給 Cutoff，求 Probability
  • X → standardize → Z → 查表 → probability
  • $P(a<X<b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$
• Type 2: 給 Probability，求 Cutoff
  • probability → 查 Z table 找 z → 換回 X
  • 由: $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$，得到: $x=\mu+z\sigma$
• 絕對值型: $P(|X-\mu|<a)$
  • 先改寫: $P(-a<X-\mu<a)$，再 standardize: $P\left(-\frac{a}{\sigma}<Z<\frac{a}{\sigma}\right)$

做題前要先確認題目的 notation。第二個參數代表 variance 還是 standard deviation

Quartiles of a Normal Distribution

若要求 $Q_1$: $P(X<Q_1)=0.25$

standardize: $P\left(Z<\frac{Q_1-\mu}{\sigma}\right)=0.25$

找到對應的 $z_{0.25}$ 後: $Q_1=\mu+z_{0.25}\sigma$

同理: $Q_3=\mu+z_{0.75}\sigma$

因 normal distribution 對稱: $z_{0.25}=-z_{0.75}$

Log-normal Distribution

不考

若: $X>0$

且: $\log(X)=Y\sim N(\mu,\sigma^2)$

則可將 log-normal probability 轉成 normal probability:

$P(a<X<b)=P(\log a<Y<\log b)$

再進行 standardization。

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Exponential Distribution

不考

若 $T$ 為 Poisson process 中等待第一個 event 的時間，rate 為 $\lambda$:

• PDF: $f(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t>0$
• CDF: $F(t)=1-e^{-\lambda t}$
• Survival function: $P(T>t)=e^{-\lambda t}$
• Mean: $E(T)=\frac{1}{\lambda}$
• Variance: $Var(T)=\frac{1}{\lambda^2}$

統整

項目	Discrete	Continuous
Probability function	PMF $P(X=x)$	PDF $f(x)$
單點機率	可大於 0	$P(X=x)=0$
區間機率	機率相加	面積 / 積分
累積機率	Summation	Integration
Mean	$\sum xP(X=x)$	$\int xf(x)dx$
Variance	Summation	Integration

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	Uniform	Normal
記號	$U(a,b)$	$N(\mu,\sigma^2)$
Shape	Rectangle	Bell-shaped
Symmetric	Yes	Yes
Mean	$(a+b)/2$	$\mu$
Variance	$(b-a)^2/12$	$\sigma^2$
Support	$[a,b]$	$(-\infty,\infty)$