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Ch5 對角化及其應用

相似

定義

令 $A,B$ 皆為 $n\times n$ matrices。若存在 $n\times n$ 可逆矩陣 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$
則稱 $B$ is similar to $A$ ，記作 $A\sim B$ 。

Note

相似是一種等價關係:

反身性: $A\sim A$ ，因為 $I^{-1}AI=A$ 。
對稱性: 若 $A\sim B$ ，則存在可逆矩陣 $P$ 使得 $P^{-1}AP=B$ 。
因此 $A=PBP^{-1}=(P^{-1})^{-1}B(P^{-1})$
所以 $B\sim A$ 。
遞移性: 若 $A\sim B$ 且 $B\sim C$ ，則存在可逆矩陣 $P,Q$ 使得 $P^{-1}AP=B, Q^{-1}BQ=C$
因此 $C=Q^{-1}BQ=Q^{-1}P^{-1}APQ=(PQ)^{-1}A(PQ)$
所以 $A\sim C$ 。

Note

特殊矩陣的相似關係:

$A\sim O \iff A=O$ 。
$A\sim I \iff A=I$ 。
$A\sim \alpha I \iff A=\alpha I$ 。

定理

相似變換/對角化下不改變的量:
令 $A,B$ 皆為 $n\times n$ matrices。若 $A\sim B$ ，則:

$\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$ 。
$\det(A)=\det(B)$ 。
$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ 。
$\operatorname{nullity}(A)=\operatorname{nullity}(B)$ 。

定理

若 $A\sim B$ ，則:

$A^k\sim B^k$ ，其中 $k\in\mathbb{N}$ 。
$cA\sim cB$ ，其中 $c\in F$ 。
$A+cI\sim B+cI$ ，其中 $c\in F$ 。
對任意 polynomial $f(x)\in F[x]$ ，皆有 $f(A)\sim f(B)$ 。

不變子空間

定義

令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $W\overset{s}{\subseteq}V$ 。若 $T(W)\subseteq W$

對任意 $\vec{x}\in W$ ，皆有 $T(\vec{x})\in W$ ，則稱 $W$ 為 $T$ -invariant subspace (不變子空間)。

並可定義 $T$ 在 $W$ 上的局部化函數 $T_W:W\to W, T_W(\vec{x})=T(\vec{x})$

讓值域可以從 $V$ 縮小到 $W$ 。

Note

常見的 $T$ -invariant subspaces:

$V$ 與 $\{\vec{0}\}$ 皆為 $T$ -invariant。
$N(T)=\ker(T)$ 與 $R(T)=\operatorname{Im}(T)$ 皆為 $T$ -invariant。
若 $W_1,\dots,W_k$ $W_{1}, \dots, W_{k}$ 皆為 $T$ $T$ -invariant
- 則 $W_1\cap\cdots\cap W_k$ 也是 $T$ -invariant。
- 則 $W_1+\cdots+W_k$ 也是 $T$ -invariant。

定理

令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $W$ 為 $T$ -invariant subspace。若 $\dim(W)=k$ 、 $\dim(V)=n$ ，取 $\beta_1=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\}$ 為 $W$ 的一組 basis，並擴充成 $V$ 的 basis $\beta=\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k,\vec{v}_{k+1},\dots,\vec{v}_n\}$

則

[T]_{\beta}^{\beta}=\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}, \quad A=[T_W]_{\beta_1}^{\beta_1}

定理

令 $T:V\to V$ 為 linear operator。若 $W_1,W_2$ 皆為 $T$ -invariant subspaces，且 $V=W_1\oplus W_2$

取 $\beta_1$ 為 $W_1$ 的 basis， $\beta_2$ 為 $W_2$ 的 basis，令 $\beta=\beta_1\cup\beta_2$ ，則

[T]_{\beta}^{\beta}=\begin{bmatrix}A_1&0\\0&A_2\end{bmatrix}, \quad A_1=[T_{W_1}]_{\beta_1}^{\beta_1}, \quad A_2=[T_{W_2}]_{\beta_2}^{\beta_2}

Corollary

由空間直和到矩陣直和:
若 $W_1,\dots,W_k$ 皆為 $T$ -invariant subspaces，且 $V=W_1\oplus\cdots\oplus W_k$

取各 $W_i$ 的 basis $\beta_i$ ，並令 $\beta=\beta_1\cup\cdots\cup\beta_k$ ，則

[T]_{\beta}^{\beta}=\begin{bmatrix} A_1&0&\cdots&0\\ 0&A_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&A_k \end{bmatrix}, \quad A_i=[T_{W_i}]_{\beta_i}^{\beta_i}

Eigenvalue 及 Eigenvector

定義

令 $T:V\to V$ 為 linear operator， $\lambda\in F$ 。若存在 $\vec{v}\ne\vec{0}$ ，使得 $T(\vec{v})=\lambda\vec{v}$

則稱 $\lambda$ 為 $T$ 的 eigenvalue (特徵值)，稱 $\vec{v}$ 為 $T$ with respect to $\lambda$ 的 eigenvector (特徵向量)。

此時 $(\lambda,\vec{v})$ 稱為一組 eigenpair。

若 $A$ 為 $n\times n$ matrix，則矩陣版本為 $A\vec{x}=\lambda\vec{x},\qquad \vec{x}\ne\vec{0}$

Note

若 $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ 且 $\vec{x}\ne\vec{0}$ ，則對任意 $c\ne0$ ， $c\vec{x}$ 仍為 $A$ 相對於 $\lambda$ 的 eigenvector。
若 $A\vec{x}_1=\lambda\vec{x}_1$ 、 $A\vec{x}_2=\lambda\vec{x}_2$ ，且 $\vec{x}_1,\vec{x}_2\ne\vec{0}$ ，則 $A(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=\lambda(\vec{x}_1+\vec{x}_2)$
- $\vec{x}_1+\vec{x}_2$ 不一定非零。因此 eigenvectors 相加不一定仍是 eigenvector，除非 $\vec{x}_1+\vec{x}_2\ne\vec{0}$ 。

定義

令 $T:V\to V$ 為 linear operator。取 $V$ 的任一組 ordered basis $\beta$ ，定義

$\operatorname{tr}(T)=\operatorname{tr}([T]_{\beta}^{\beta})$
$\det(T)=\det([T]_{\beta}^{\beta})$

Note

若 $\beta,\gamma$ 為 $V$ 的兩組 ordered bases， $[T]_{\beta}^{\beta}\sim [T]_{\gamma}^{\gamma}$ 。則

$\operatorname{tr}([T]_{\beta}^{\beta})=\operatorname{tr}([T]_{\gamma}^{\gamma})$
$\det([T]_{\beta}^{\beta})=\det([T]_{\gamma}^{\gamma})$

定理

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix， $\lambda\in F$ 。

則 $\lambda\in\lambda(A)\Longleftrightarrow \det(A-\lambda I)=0$

定義

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix，定義 $P_A(x)=\det(A-xI)$ 為 $A$ 的 characteristic polynomial (特徵多項式)。

Note

若 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，則

P_A(x)=\det(A-xI) =\begin{vmatrix} a_{11}-x&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}-x&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}-x \end{vmatrix}

因此 $P_A(x)$ 為 $n$ 次多項式，且首項為 $(-1)^nx^n$ ，常數項為 $\det(A)$ 。

$(-x)^{n-1}$ 的係數為 $a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}=\operatorname{tr}(A)$

所以 $P_A(x)=(-1)^nx^n+(-1)^{n-1}\operatorname{tr}(A)x^{n-1}+\cdots+\det(A)$

特別地，當 $A$ 為 $2\times2$ matrix 時 $P_A(x)=x^2-\operatorname{tr}(A)x+\det(A)$

定義

令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $\lambda\in\lambda(T)$ 。定義 $V(\lambda)=\{\vec{v}\in V\mid T(\vec{v})=\lambda\vec{v}\}$ 為 $T$ 相對於 $\lambda$ 的 eigenspace (特徵空間)。

Note

$V(\lambda)=\ker(T-\lambda I)$
$V(\lambda)\overset{s}{\subseteq}V$

Lemma

令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $\lambda\in\lambda(T)$ 。

則 $V(\lambda)$ 為 $T$ -invariant subspace。

Note

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix。

$\lambda(A)=\lambda(A^T)$ $λ (A) = λ (A^{T})$
- $P_A(x)=\det(A-xI)=\det((A-xI)^T)=\det(A^T-xI)=P_{A^T}(x)$
$A$ 與 $A^T$ 不一定有相同的 eigenvectors

定理

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix，且 $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ 為 $A$ 的相異 eigenvalues。

(1) $V(\lambda_1),\dots,V(\lambda_r)$ 為 independent subspaces。

(2) 若 $\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_r$ 分別為 $A$ 相對於 $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ 的 eigenvectors，則 $\vec{x}_1,\dots,\vec{x}_r$ 為 LI。

也就是說: 相異 eigenvalues 對應的 eigenvectors 一定線性獨立。

定理

令 $A,B$ 為 $n\times n$ matrix。若 $A\sim B$ ，則

$P_A(x)=P_B(x)$
$\lambda(A)=\lambda(B)$

常見證明 $\lambda(A)=\lambda(B)$ 的方式:

證明 characteristic polynomial 相同: $P_A(x)=P_B(x)$ ，也就是 $\det(A-xI)=\det(B-xI)$ 。
$\lambda(A)=\lambda(B)$ 只代表 eigenvalues 相同，不代表 eigenvectors 完全相同。

定理

令 $A,B$ 為 $n\times n$ matrices，則 $AB$ 與 $BA$ 具有相同的 eigenvalues。

Note

若 $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ ，且 $\vec{x}\ne\vec{0}$ ，則 $A^2\vec{x}=A(A\vec{x})=A(\lambda\vec{x})=\lambda A\vec{x}=\lambda^2\vec{x}$

同理可得 $A^k\vec{x}=\lambda^k\vec{x}$

定理

eigenvalue 表現定理:

若 $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ ，且 $\vec{x}\ne\vec{0}$ ，則有下列常用結果:

matrix	eigenvalue	eigenvector
$A$	$\lambda$	$\vec{x}$
$A^T$	$\lambda$	不一定是 $\vec{x}$
$A^H$	$\overline{\lambda}$	不一定是 $\vec{x}$
$A^{-1}$	$\lambda^{-1}$	$\vec{x}$
$A^k$	$\lambda^k$	$\vec{x}$
$\alpha A$	$\alpha\lambda$	$\vec{x}$
$A+\alpha I$	$\lambda+\alpha$	$\vec{x}$
$f(A)$	$f(\lambda)$	$\vec{x}$

範例

令

A=\begin{bmatrix} 2&1&1&1&1&1\\ 2&3&2&2&2&2\\ 3&3&4&3&3&3\\ 4&4&4&5&4&4\\ 5&5&5&5&6&5\\ 6&6&6&6&6&7 \end{bmatrix}

求 $\lambda(A)$ 。

對角化

定義

函數版本: 令 $T:V\to V$ 為 linear operator。若存在 $V$ 的一組 basis $\beta$ ，使得 $[T]_{\beta}^{\beta}=D$ 為對角矩陣，則稱 $T$ 可對角化 (diagonalizable)。
矩陣版本: 令 $A$ 為 $n\times n$ matrix。若存在可逆矩陣 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=D$ (相似) 為對角矩陣，則稱 $A$ 可對角化 (diagonalizable)。

定理

令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $\operatorname{dim}(V)=n$ 。

則 $T$ 可對角化 $\Longleftrightarrow$ $T$ 含有 $n$ 個 LI eigenvectors。

定理

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix。

則 $A$ 可對角化 $\Longleftrightarrow$ $A$ 含有 $n$ 個 LI eigenvectors。

Note

若 $A$ $A$ 可對角化，則
- $P$ 的行向量為 $A$ 的 eigenvectors
- $D$ 的對角項為對應的 eigenvalues。
$P$ 不唯一，但 $D$ 唯一 (不考慮排列順序)。
若 $A$ 不具 $n$ 個 LI eigenvectors，則稱 $A$ 為 defective matrix，也就是 $A$ 不可對角化。

定義

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix，且 $\lambda\in\lambda(A)$ 。

代數重數 (algebraic multiplicity): $\lambda$ 在 $P_A(x)$ 之重根數，記作 $\operatorname{am}(\lambda)$ 。
幾何重數 (geometric multiplicity): $\operatorname{gm}(\lambda)=\operatorname{dim}(V(\lambda))$ $g m (λ) = d i m (V (λ))$ 。
- $\operatorname{gm}(\lambda)=\operatorname{dim}(V(\lambda))=\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A-\lambda I))=\operatorname{nullity}(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$

定理

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix，且 $\lambda\in\lambda(A)$ 。
則 $\operatorname{gm}(\lambda)\le \operatorname{am}(\lambda)$

Note

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix，且 $\lambda\in\lambda(A)$ 。

$1\le \operatorname{gm}(\lambda)\le \operatorname{am}(\lambda)\le n$ 。
若 $\operatorname{am}(\lambda)=1$ ，則 $\operatorname{gm}(\lambda)=1$ 。

定義

令 $f(x)\in P_n$ 。若 $f(x)$ 的所有根皆落在 $F$ 中，則稱 $f(x)$ split over $F$ 。

例如 $f(x)=x^2+1$ split over $\mathbb{C}$ ，但不 split over $\mathbb{R}$ 。

定理

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix，且 $P_A(x)$ split over $F$ 。若 $A$ 的 eigenvalues 為 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ ，包含重複計算，則

$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ $det (A) = λ_{1} λ_{2} \dots λ_{n}$ 。
- 因 $P_A(x)=(\lambda_1-x)\cdots(\lambda_n-x)$ ，令 $x=0$ ，得 $P_A(0)=\det(A)=\lambda_1\cdots\lambda_n$ 。
$\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$ $t r (A) = λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n}$ 。
- 比較 $P_A(x)$ 中 $(-x)^{n-1}$ 的係數，一邊為 $\operatorname{tr}(A)$ ，另一邊為 $\lambda_1+\cdots+\lambda_n$ 。

此外，對任意正整數 $k$ ，有 $\operatorname{tr}(A^k)=\lambda_1^k+\lambda_2^k+\cdots+\lambda_n^k$

範例

令

A=\begin{bmatrix} a&b&\cdots&b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b&b&\cdots&a \end{bmatrix}_{n\times n}

則

$\lambda=a-b$ ，重數為 $n-1$ 。
$\lambda=a+(n-1)b$ ，重數為 $1$ 。
$P_A(x)=[(a-b)-x]^{n-1}[a+(n-1)b-x]$ 。
$\det(A)=(a-b)^{n-1}[a+(n-1)b]$ 。
$A$ 可對角化。

定理

令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $\operatorname{dim}(V)=n$ 。設 $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ 為 $T$ 的相異 eigenvalues。

則 $T$ 可對角化
$\Longleftrightarrow P_T(x) \text{ split over } F \text{ 且 } \operatorname{gm}(\lambda_i)=\operatorname{am}(\lambda_i), \forall i=1,\dots,r$
$\Longleftrightarrow V=V(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus V(\lambda_r)$

定理

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix。若 $A$ 具有 $n$ 個相異 eigenvalues，則 $A$ 可對角化。

相異 eigenvalues 對應的 eigenvectors 必為 LI，所以可找到 $n$ 個 LI eigenvectors。

定理

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix。若 $A$ 可對角化，則

$A^{-1}$ 可對角化，前提是 $A$ 可逆。
$A^T$ 可對角化。

Note

不是每個 matrix 都可對角化。判斷時常用以下三種方式:

找到 $n$ 個 LI eigenvectors。
確認每個 eigenvalue 皆滿足 $\operatorname{gm}(\lambda)=\operatorname{am}(\lambda)$ 。
確認所有 eigenspaces 可形成整個空間的直和。

範例

定義

令 $A,B$ 皆為 $n\times n$ matrices。若 $A$ 與 $B$ 具有同一組由 eigenvectors 組成的 basis，則稱 $A,B$ 可同步對角化 (simultaneously diagonalizable)。

等價地，存在同一個可逆矩陣 $P$ ，使得 $P^{-1}AP$ 與 $P^{-1}BP$ 皆為對角矩陣。

冪等算子

定義

令 $T:V\to V$ 為 linear operator。若 $T^2=T$ ，則稱 $T$ 為 idempotent operator。
令 $A$ 為 $n\times n$ matrix。若 $A^2=A$ ，則稱 $A$ 為 idempotent matrix。

Note

對任意 linear operator $T$ ，有

$\ker(T)\subseteq \ker(T^2)\subseteq \ker(T^3)\subseteq \cdots$ 。
$\operatorname{Im}(T)\supseteq \operatorname{Im}(T^2)\supseteq \operatorname{Im}(T^3)\supseteq \cdots$ 。

若 $T^2=T$ ，則對任意 $\vec{v}\in \operatorname{Im}(T)$ ，可寫成 $\vec{v}=T(\vec{u})$ ，因此 $T(\vec{v})=T^2(\vec{u})=T(\vec{u})=\vec{v}$ 。
所以 $\operatorname{Im}(T)\subseteq V(1)$ 。反之，若 $\vec{v}\in V(1)$ ，則 $T(\vec{v})=\vec{v}$ ，故 $\vec{v}\in \operatorname{Im}(T)$ 。
因此 $V(1)=\operatorname{Im}(T)$ 。

Note

若 $T^2=T$ ，則

$\ker(T)=\ker(T^2)$ 。
$\operatorname{nullity}(T)=\operatorname{nullity}(T^2)$ 。
$\operatorname{rank}(T)=\operatorname{rank}(T^2)$ 。
$\operatorname{Im}(T)=\operatorname{Im}(T^2)$ 。

定理

令 $T:V\to V$ 為 linear operator。則下列敘述等價:

$V=\ker(T)\oplus \operatorname{Im}(T)$ 。
$V=\ker(T)+\operatorname{Im}(T)$ 。
$\ker(T)\cap \operatorname{Im}(T)=\{\vec{0}\}$ 。

也就是說，當上述條件成立時， $\ker(T)$ 與 $\operatorname{Im}(T)$ 形成 $V$ 的 direct sum decomposition。

定理

令 $T:V\to V$ 為 idempotent operator，即 $T^2=T$ 。則 $V=\ker(T)\oplus \operatorname{Im}(T)$

證明

先證 $V=\ker(T)+\operatorname{Im}(T)$ 。任取 $\vec{v}\in V$ ，可寫成 $\vec{v}=(\vec{v}-T(\vec{v}))+T(\vec{v})$

其中 $T(\vec{v})\in \operatorname{Im}(T)$

且 $T(\vec{v}-T(\vec{v}))=T(\vec{v})-T^2(\vec{v})=\vec{0}$ ，故 $\vec{v}-T(\vec{v})\in \ker(T)$ 。

得到 $V=\ker(T)\oplus \operatorname{Im}(T)$ (by 前一個定理)。

定理

令 $T:V\to V$ 為 linear operator，且 $T^2=T$ 。則

$T$ $T$ 的 eigenvalues 只可能為 $0$ $0$ 或 $1$ $1$ 。
- 由 $T^2=T$ 得 $\lambda^2\vec{v}=T^2(\vec{v})=T(\vec{v})=\lambda\vec{v}$ ，故 $\lambda^2=\lambda$ ，即 $\lambda=0$ 或 $1$ 。
$V(0)=\ker(T)$ $V (0) = ker (T)$ ， $V(1)=\operatorname{Im}(T)$ $V (1) = I m (T)$ 。
- $V(0)=\ker(T-0I)=\ker(T)$ 。
- $V(1)=\operatorname{Im}(T)$ 前面證明過。
$T$ 可對角化，且存在 $V$ 的一組 basis $\beta$ ，使 $[T]_{\beta}=D=\begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix},\quad r=\operatorname{rank}(T)$ 。

Note

令 $A$ 為 $n\times n$ matrix，且 $A^2=A$ 。定義 $T(\vec{x})=A\vec{x}$ ，則 $T^2=T$ ，所以

$A$ 的 eigenvalues 只可能為 $0$ 或 $1$ 。
$V(0)=\ker(A)$ ， $V(1)=\operatorname{CS}(A)$ 。
$A$ 可對角化，且 $A\sim D=\begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ ，其中 $r=\operatorname{rank}(A)$ 。
$\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(D)=r=\operatorname{rank}(A)$ 。

對角化的應用

Note

若存在可逆矩陣 $P$ 使

P^{-1}AP=D=\begin{bmatrix} \lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_n \end{bmatrix}

則 $A=PDP^{-1}$ 。因此

A^k=PD^kP^{-1} =P\begin{bmatrix} \lambda_1^k&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2^k&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_n^k \end{bmatrix}P^{-1}

更一般地，若 $f(x)$ 為 polynomial，則

f(A)=Pf(D)P^{-1} =P\begin{bmatrix} f(\lambda_1)&0&\cdots&0\\ 0&f(\lambda_2)&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&f(\lambda_n) \end{bmatrix}P^{-1}

範例

Markov chain

定義

stochastic process (隨機過程): 隨時間變化的隨機系統。
Markov process: 下一步狀態只與目前狀態有關，與更早以前的狀態無關。
Markov matrix/stochastic matrix: entries 皆 $\ge 0$ ，且每一欄和為 $1$ 的矩陣，也稱 transition matrix。
probability vector (機率向量): entries 皆 $\ge 0$ ，且 entries 總和為 $1$ 的向量。

Note

若 $\vec{x}_0$ 為 initial probability vector，則 $\vec{x}_n=A\vec{x}_{n-1}=A^n\vec{x}_0$
- $\vec{x}_n$ 為第 $n$ 個 generation 的 probability vector。
若 probability vector $\vec{x}$ 滿足 $A\vec{x}=\vec{x}$ ，則稱 $\vec{x}$ 為 steady-state vector，也就是 $\vec{x}\in\ker(A-I)$ 。
若 $A$ 為 transition matrix，且存在 $k\in\mathbb{Z}^+$ 使 $A^k$ 中每一項皆為正，則稱 $A$ 為 regular transition matrix。