Poisson Process 與 Poisson Distribution

Poisson Process

描述在時間或空間區間內隨機發生的事件數量，例如電話到達、事故、缺陷數等。

主要假設:

$X\sim\operatorname{Poisson}(\mu),\quad \mu=\lambda t$ $X \sim P o i s s o n (μ), μ = λ t$
- $\lambda$ : 每單位時間／空間的平均發生次數。
- $t$ :觀察長度； $\mu=\lambda t$ : 整段觀察範圍的平均事件數。
- $X$ : 該範圍內實際發生次數，因此只能是非負整數。

PMF: ${P(X=x)=\frac{e^{-\mu}\mu^x}{x!}}$ , $x=0,1,2,\ldots$

期望值與變異數: ${E(X)=\operatorname{Var}(X)=\mu=\lambda t}$

CDF: $F(a)=P(X\le a)=\sum_{x=0}^{a}\frac{e^{-\mu}\mu^x}{x!}$ , $a$ 為非負整數

觀察區間變成 $ct$ ，在同樣發生率下，參數 $\mu$ 也變成 $c\lambda t$ 。

用途: 二項分配的 $n$ 很大且 $p$ 很小 (罕見事件) 時，可以用 Poisson 近似，減少複雜的組合數計算。

若 $X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$

則取相同平均數 $\mu=np$ ，以 ${Y\sim\operatorname{Poisson}(np)}$

近似: ${P(X=x)=\binom nx p^x(1-p)^{n-x}\approx \frac{e^{-np}(np)^x}{x!}}$

適用時機:

原則: $n$ 大、 $p$ 小。
講義提供的經驗判準:
- $n\ge20$ 且 $p\le0.05$ : Good approximation。
- $n\ge100$ 且 $np\le10$ : Very good approximation。

不考

情境: 持續進行獨立 Bernoulli 試驗，直到第一次成功。
$X$ $X$ 定義為 第一次成功之前，總共做了幾次試驗； $x=1,2,\ldots$ $x = 1, 2, \dots$ 。
- $P(X=x)=(1-p)^{x-1}p$
- $E(X)=\frac1p$
- $\operatorname{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$

R 的 dgeom() 使用 第一次成功前的失敗次數，因此若 $X$ 是試驗總次數，要輸入 x-1。

情境:每次試驗有 $K$ 種可能結果 ( $K=2$ 時退化為 Binomial)。
$n$ $n$ 次試驗中，第 $k$ $k$ 類出現 $x_k$ $x_{k}$ 次、機率為 $p_k$ $p_{k}$ ，滿足 $\sum x_k=n$ $\sum x_{k} = n$ 、 $\sum p_k=1$ $\sum p_{k} = 1$ 。
- $P(X_1=x_1,\ldots,X_K=x_K)=\frac{n!}{x_1!\cdots x_K!}\prod_{k=1}^{K}p_k^{x_k}$

情境:從有限母體中不放回抽樣。
母體有 $A$ 個目標、 $B$ 個非目標，共抽取 $n$ 個， $X$ 為抽到目標的數量。
- $P(X=x)=\frac{\binom Ax\binom B{n-x}}{\binom{A+B}n}$
不放回使各次抽取的成功率可能改變，因此不同於獨立 Bernoulli 試驗。
若母體大小 $N=A+B\gg n$ ，可近似為 $\operatorname{Binomial}(n,A/N)$ 。